Question

20．如圖1，在銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，且BF=AC．
（1）求證：ED平分∠FEC；
（2）如圖2，若△ABC中，∠C為鈍角，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否仍成立？自己畫(huà)圖，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出∠DBF=∠DAC，由AAS證明△BDF≌△ADC．得出對(duì)應(yīng)邊相等BD=AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ABD=45°，證明A、B、D、E四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BED=∠BAD=45°，得出∠CED=∠BED，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）由AAS證明△BDF≌△ADC，得出BD=AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ABD=45°，證明A、B、E、D四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠DEA=∠ABD=45°，得出∠DEF=∠DEA，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，∠AEB=∠FEC=90°，
∵∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADC}&{\;}\\{∠DBF=∠DAC}&{\;}\\{BF=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵∠AEB=∠ADB=90°，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠BED=∠BAD=45°，
∴∠CED=90°-45°=45°=∠BED，
∴ED平分∠FEC；
（2）解：（1）中結(jié)論成立；理由如下：如圖所示：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，∠AEB=∠FEC=90°，
∵∠DBF+∠F=90°，∠DAC+∠F=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADC}&{\;}\\{∠DBF=∠DAC}&{\;}\\{BF=AC}&{\;}\end{array}\right.$．
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵∠AEB=∠ADB=90°，
∴A、B、E、D四點(diǎn)共圓，
∴∠DEA=∠ABD=45°，
∴∠DEF=90°-∠DEA=45°=∠DEA，
∴ED平分∠FEC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和四點(diǎn)共圓是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．