Question

【題目】如圖，在中，是的平分線，于，于，并且，動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)求證:在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有；

(2)當(dāng)取何值時(shí)，與全等；

(3)若，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，△DFE與△DMG全等；(3)

【解析】

（1）由角平分線的性質(zhì)可知DF=DM，所以△AED和△DGC的面積轉(zhuǎn)化為底AE和CG的比值，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AE和CG的長(zhǎng)度即可證明在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，②當(dāng)3＜t＜5時(shí)，分別根據(jù)△DFE≌△DMG，得出EF=GM，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，進(jìn)行求解即可；
（3）利用等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，即可求得答案．

（1）∵是的平分線， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵

∴，

∵點(diǎn)E以3cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴，，

∴，

即，

∴，

∴在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有．

（2）∵是的平分線， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴，

∴，
①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，點(diǎn)G在線段CM上，點(diǎn)E在線段AF上．
，
∴，
∴（不合題意，舍去）；
②當(dāng)3＜t＜5時(shí)，點(diǎn)G在線段AM上，點(diǎn)E在線段AF上．
，，
∴，

∴，

綜上所述當(dāng)時(shí)，△DFE與△DMG全等；

（3）∵，

∴()，

∵，
∴
∵，
∴()，

∴()，

∵，，

∴ ．