【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn),直線y=﹣ x+3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)E′落在y軸上?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式,得:
,解得 ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+4x+5
(2)
解:∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣ m+3),F(xiàn)(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.
由題意,PE=5EF,即:|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15|
①若﹣m2+ m+2= m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m= ;
②若﹣m2+ m+2=﹣( m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m= 或m= .
由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m= 、m= 這兩個(gè)解均舍去.
∴m=2或m=
(3)
解:方法一:假設(shè)存在.
作出示意圖如下:
∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y軸,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四邊形PECE′是菱形.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí),
由直線CD解析式y(tǒng)=﹣ x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸,交y軸于點(diǎn)M,易得△CEM∽△CDO,
∴ ,即 ,解得CE= |m|,
∴PE=CE= |m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+ m+2|
∴|﹣m2+ m+2|= |m|.
①若﹣m2+ m+2= m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣ ;
②若﹣m2+ m+2=﹣ m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+ ,m2=3﹣ .
由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m=3+ 這個(gè)解舍去.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí),
此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,E,C,E'三點(diǎn)重合與y軸上,也符合題意,
∴P(0,5)
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,5),(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)
方法二:
若E(不與C重合時(shí))關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)E′在y軸上,則直線CD與直線CE′關(guān)于PC軸對(duì)稱.
∴點(diǎn)D關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)D′也在y軸上,
∴DD′⊥CP,∵y=﹣ x+3,
∴D(4,0),CD=5,
∵OC=3,
∴OD′=8或OD′=2,
①當(dāng)OD′=8時(shí),D′(0,8),設(shè)P(t,﹣t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴ ,
∴2t2﹣7t﹣4=0,
∴t1=4,t2=﹣ ,
②當(dāng)OD′=2時(shí),D′(0,﹣2),
設(shè)P(t,﹣t2+4t+5),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴ =﹣1,
∴t1span>=3+ ,t2=3﹣ ,
∵點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),
∴﹣1<t<5,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3).
若點(diǎn)E與C重合時(shí),P(0,5)也符合題意.
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,5),(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF,然后列方程求解;(3)解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形,然后根據(jù)PE=CE的條件,列出方程求解;當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí),P點(diǎn)y軸上,即可得到點(diǎn)P坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在折線ABCDEFG中,已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5,延長(zhǎng)AB、GF交于點(diǎn)M.試探索∠AMG與∠3的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點(diǎn)F為BE中點(diǎn),連接DF、CF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(不用證明);
(2)如圖2,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),請(qǐng)你判斷此時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷;
(3)如圖3,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí),若AD=1,AC= ,求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置正確的是( )
A. A B. B C. C D. D
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(5,0),(2,6),點(diǎn)D為AB上一點(diǎn),且BD=2AD,雙曲線y= (k>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)求四邊形ODBE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定向越野作為一種新興的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,深受人們的喜愛(ài). 這種定向運(yùn)動(dòng)是利用地圖和指北針到訪地圖上所指示的各個(gè)點(diǎn)標(biāo),以最短時(shí)間按序到達(dá)所有點(diǎn)標(biāo)者為勝. 下面是我區(qū)某校進(jìn)行定向越野活動(dòng)中,中年男子組的成績(jī)(單位:分:秒).
9:01 14:45 9:46 19:22 11:20 18:47 11:40 12:32 11:52 13:45
22:27 15:00 17:30 13:22 18:34 10:45 19:24 16:26 21:33 15:31
19:50 14:27 15:55 16:07 20:43 12:13 21:41 14:57 11:39 12:45
12:57 15:31 13:20 14:50 14:57 9:41 12:13 14:27 12:25 12:38
例如,用時(shí)最少的趙老師的成績(jī)?yōu)?:01,表示趙老師的成績(jī)?yōu)?分1秒.
以下是根據(jù)某校進(jìn)行定向越野活動(dòng)中,中年男子組的成績(jī)中的數(shù)據(jù),繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.
某校中年男子定向越野成績(jī)分段統(tǒng)計(jì)表
分組/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
9≤x<11 | 4 | 0.1 |
11≤x<13 | b | 0.275 |
13≤x<15 | 9 | 0.225 |
15≤x<17 | 6 | d |
17≤x<19 | 3 | 0.075 |
19≤x<21 | 4 | 0.1 |
21≤x<23 | 3 | 0.075 |
合計(jì) | a | c |
(1)這組數(shù)據(jù)的極差是____________;
(2)上表中的a =____________ ,b =____________ , c =____________, d =____________;
(3)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),AB=5,OA:OB =3:4.
(1)求直線l的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是軸上的點(diǎn),點(diǎn)Q是第一象限內(nèi)的點(diǎn).若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,O為直線AB上一點(diǎn),∠COE=90°,OF平分∠AOE.
(1)若∠COF=40°,求∠BOE的度數(shù).
(2)若∠COF=α(0°<α<90°),則∠BOE=______(用含α的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所對(duì)甲、乙兩種小麥各選用10塊面積相同的試驗(yàn)田進(jìn)行種植試驗(yàn),它們的平均畝產(chǎn)量分別是 =610千克, =608千克,畝產(chǎn)量的方差分別是S2甲=29.6,S2乙=2.7.則關(guān)于兩種小麥推廣種植的合理決策是( )
A.甲的平均畝產(chǎn)量較高,應(yīng)推廣甲
B.甲、乙的平均畝產(chǎn)量相差不多,均可推廣
C.甲的平均畝產(chǎn)量較高,且畝產(chǎn)量比較穩(wěn)定,應(yīng)推廣甲
D.甲、乙的平均畝產(chǎn)量相差不多,但乙的畝產(chǎn)量比較穩(wěn)定,應(yīng)推廣乙
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