Question

（2013•海淀區(qū)一模）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1厘米的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止；同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA-AC以每秒3厘米的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．如果其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，則另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，P、M兩點(diǎn)之間的距離為y厘米，則表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：分類討論：當(dāng)M點(diǎn)在AB上，作MD⊥BC于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AB=BC=6，∠B=60°，則∠BMD=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可求出BD=

3

2

t，MD=

3 3

2

t，
則PD=

1

2

t，然后利用勾股定理可得到y(tǒng)=

7

t（0≤t≤2）；當(dāng)M點(diǎn)在AC上，作MD⊥BC于D，運(yùn)用相同的方法可得到y(tǒng)=7t²-54t+108（2≤t≤4），利用二次函數(shù)的性質(zhì)得t=-

-54

2×7

=

27

7

時(shí)，y有最小值，最后利用解析式對(duì)各選項(xiàng)中的圖象進(jìn)行判斷即可得到答案．

解答：解：當(dāng)M點(diǎn)在AB上，作MD⊥BC于D，如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=6，∠B=60°，
∴∠BMD=30°，
∵BM=3t，BP=t，
∴BD=

1

2

BM=

3

2

t，MD=

3

BD=

3 3

2

t，
∴PD=BD-BP=

1

2

t，
在Rt△MPD中，PM²=MD²+PD²，即y²=（

3 3

2

t）²+（

1

2

t）²，
∴y=

7

t（0≤t≤2），
當(dāng)M點(diǎn)在AC上，作MD⊥BC于D，如圖2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=6，∠C=60°，
∴∠CMD=30°，
∵BA+AM=3t，BP=t，
∴CM=12-3t，
∴DC=

1

2

MC=

1

2

（12-3t），MD=

3

DC=

3

2

（12-3t），
∴PD=BC-BP-CD=

1

2

t，
在Rt△MPD中，PM²=MD²+PD²，即y²=[

3

2

（12-3t）]²+（

1

2

t）²，
∴y²=7t²-54t+108（2≤t≤4），
∴t=-

-54

2×7

=

27

7

時(shí)，y有最小值，
綜上所述當(dāng)0≤t≤2時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象為以原點(diǎn)為端點(diǎn)的線段；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象為開(kāi)口向上的拋物線的一部分，且t=

27

7

時(shí)，y有最小值．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象：利用點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)列出有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式畫(huà)出函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍；重點(diǎn)考查了通過(guò)看圖獲取信息，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題．