Question

二次函數(shù)y=

2

3

x2的圖象如圖所示，點A₀位于坐標原點，點A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y軸的正半軸上，點 B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函數(shù)y=

2

3

x2位于第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都為等邊三角形，則△A₀B₁A₁的邊長=

1

，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長=

2011

．

Answer 1

分析：先計算出△A₀B₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的邊長，推理出各邊長組成的數(shù)列各項之間的排列規(guī)律，依據(jù)規(guī)律得到△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長．

解答：解：作B₁A⊥y軸于A，B₂B⊥y軸于B，B₃C⊥y軸于C．
設等邊△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等邊△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=

3

a，代入解析式得

2

3

×（

3

a）²=a，解得a=0（舍去）或a=

1

2

，于是等邊△A₀B₁A₁的邊長為

1

2

×2=1；
②等邊△A₁B₂A₂中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=

3

b，B₂點坐標為（

3

b，1+b）代入解析式得

2

3

×（

3

b）²=1+b，
解得b=-

1

2

（舍去）或b=1，
于是等邊△A₁B₂A₂的邊長為1×2=2；
③等邊△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°=

3

c，B₃點坐標為（3c，3+c）代入解析式得

2

3

×（

3

c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=

3

2

，
于是等邊△A₂B₃A₃的邊長為

3

2

×2=3．
于是△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長為2011．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題將二次函數(shù)和等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合在一起，是一道開放題，有利于培養(yǎng)同學們的探索發(fā)現(xiàn)意識．