Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連結AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H，連結DG.

(1)填空：若∠BAF＝18°，則∠DAG＝______°.

(2)證明：△AFC∽△AGD；

(3)若＝，請求出的值.

Answer 1

【答案】(1)27；(2)證明見解析；(3)＝.

【解析】

(1)由四邊形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到結論；

(2)由四邊形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到結果；

(3)設BF＝k，CF＝2k，則AB＝BC＝3k，根據勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到結論.

解：(1)∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，

∴∠BAC＝∠GAF＝45°，

∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，

∴∠HAG＝∠BAF＝18°，

∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，

∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，

故答案為：27.

(2)∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，

∴＝，＝，

∴＝，

∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，

∴∠DAG＝∠CAF，

∴△AFC∽△AGD；

(3)∵＝，

設BF＝k，

∴CF＝2k，則AB＝BC＝3k，

∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，

∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，

∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，

∴△AFH∽△ACF，

∴，

∴＝＝.