Question

（1）如圖1，BO、CO分別是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分線，則∠BOC與∠A的關系是

90°+

1

2

∠A

（直接寫出結論）；
（2）如圖2，BO、CO分別是△ABC兩個外角∠CBD和∠BCE的平分線，則∠BOC與∠A的關系是

90°-

1

2

∠A

，請證明你的結論．
（3）如圖3，BO、CO分別是△ABC一個內角和一個外角的平分線，則∠BOC與∠A的關系是

1

2

∠A

，請證明你的結論．
（4）利用以上結論完成以下問題：如圖4，已知：∠DOF=90°，點A、B分別是射線OF、OD上的動點，△ABO的外角∠OBE的平分線與內角∠OAB的平分線相交于點P，猜想∠P的大小是否變化？請證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)BO、CO分別平分∠ABC與∠ACB求出∠1+∠2的度數(shù)，由三角形內角和定理即可得出∠BOC的度數(shù)；
（2）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根據(jù)三角形內角和定理可證2∠BOC=180°-∠A，即
∠BOC=90°-

1

2

∠A；
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解；
（4）利用（3）中的解題思路證得∠P的大小不會變化始終為45°．

解答：解：（1）∠BOC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
如圖1，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+

1

2

∠A；
故答案是：90°+

1

2

∠A；

（2）∠BOC=90°-

1

2

∠A．
證明：如圖2，∵BD平分∠DBC，
∴∠OBC=

1

2

∠DBC．
同理可證：∠OCB=

1

2

∠BCE．
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠DBC+∠BCE），
∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-

1

2

∠A；
故答案是：90°-

1

2

∠A；

（3）∠BOC=

1

2

∠A；
證明：∵CO平分∠ACD    BO平分∠ABC
∴∠OCD=

1

2

∠ACD∠OBC=

1

2

∠ABC
∵∠OCD是△OBC的外角
∴∠BOC=∠OCD-∠OBC
=

1

2

（∠ACD-∠ABC）
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD-∠ABC=∠A
∴∠BOC=

1

2

∠A；
故答案是：

1

2

∠A；

（4）∠P的大小沒有變化．
根據(jù)（3）可得：∠P=

1

2

∠AOB
∵∠AOB=90°
∴∠P=45°
∴∠P的大小不會變化始終為45°．

點評：本題考查三角形外角的性質、角平分線線的性質及三角形的內角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內角的關系．