Question

在△ABC，已知AB=12，AC=8，BC=13，∠A的角平分線與中線BE、CF分別交于M、N．設(shè)△ABC的重心為G，則

S△GMN

S△ABC

=

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：過點E作DE∥AN，交BA的延長線于點D，過點C作CH∥AN，交BA的延長線于點H，連接EF、EN，利用三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)可以得到GE=

1

3

BE，F(xiàn)G=

1

3

BE，然后由AN平分∠BAC，DE∥AN可證到AD=AE，再根據(jù)平行線分線段成比例可得

BM

ME

=

BA

AD

=3，同理可得

FN

NC

=

3

4

．設(shè)ME=x，可得GE=

4

3

x，GM═

1

3

x，從而有

S△GMN

S△GEN

=

GM

GE

=

1

4

，同理可得

S△GEN

S△GEC

=

GN

GC

=

1

7

，由

EG

BE

=

1

3

，

EC

AC

=

1

2

可得

S△CEG

S△CEB

=

EG

BE

=

1

3

，

S△CEB

S△ABC

=

EC

AC

=

1

2

，即可得到

S△GMN

S△ABC

=

S△GMN

S△GEN

•

S△GEN

S△GEC

•

S△CEG

S△CEB

•

S△CEB

S△ABC

=

1

168

．

解答：解：過點E作DE∥AN，交BA的延長線于點D，過點C作CH∥AN，交BA的延長線于點H，連接EF、EN，如圖．
∵點E是AC的中點，點F是AB的中點，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∴△GEF∽△GBC，
∴

GE

BG

=

FG

CG

=

EF

BC

=

1

2

，
∴GE=

1

3

BE，F(xiàn)G=

1

3

BE．
∵AN平分∠BAC，DE∥AN，
∴∠BAN=∠CAN，∠BAN=∠ADE，∠CAN=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
∵點E是AC的中點，AC=8，
∴AD=AE=4．
∵DE∥AN，AB=12，AD=4，
∴

BM

ME

=

BA

AD

=3．
同理可得：

FN

NC

=

FA

AH

=

FA

AC

=

6

8

=

3

4

．
設(shè)ME=x，則BM=3x，BE=4x，GE=

4

3

x，
∴GM=GE-ME=

4

3

x-x=

1

3

x，
∴

S△GMN

S△GEN

=

GM

GE

=

1 3 x

4 3 x

=

1

4

．
同理可得：

S△GEN

S△GEC

=

GN

GC

=

1

7

，
∵

EG

BE

=

1

3

，

EC

AC

=

1

2

，
∴

S△CEG

S△CEB

=

EG

BE

=

1

3

，

S△CEB

S△ABC

=

EC

AC

=

1

2

，
∴

S△GMN

S△ABC

=

S△GMN

S△GEN

•

S△GEN

S△GEC

•

S△CEG

S△CEB

•

S△CEB

S△ABC

=

1

4

×

1

7

×

1

3

×

1

2

=

1

168

．
故答案為：

1

168

．

點評：本題主要考查了等積變換、平行線分線段成比例、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定的難度，而由AN平分∠BAC證到

BM

ME

=

AB

AE

，

FN

NC

=

AF

AC

是解決本題的關(guān)鍵．