Question

△ABC中AB=AC=5，BC=6，點P在邊AB上，⊙O與AB、AC都相切，且P為切點，線段AO與⊙O交于H，過H作⊙O的切線交AB、AC于D、E，設(shè)AP=x，△ADE的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）⊙O的內(nèi)接正方形的面積能否比△ADE的面積大15？大30？為什么？

Answer 1

解：（1）延長AO交BC于F，則AF⊥BC，BF=FC=BC=3，根據(jù)勾股定理得出AF=4，
令∠BAF=∠1，則sin∠1=BF：AB=3：5，tan∠1=BF：AF=3：4
在△ADH中，∠AHD=90°
∵sin∠1=DH：AD=3：5
∴AD=DH
又∵DH、DP與⊙O分別相切于H、P，
∴DH=DP
∵AD+DP=AP
∴DH+DH=x
∴DH=x
∴AH=DH，tan∠1=x
∴y=DE•AH=DH•AH=x²；

（2）在△AOP中，∠APO=90°，
∴tan∠1=OP：AP=OP：x=3：4，
∴OP=x，
∴⊙O的半徑為x，
∴⊙O的內(nèi)接正方形的面積為4××（x）×（x）=x²，
如果⊙O的內(nèi)接正方形的面積比△ADE的面積大15，則x²-x²=15，解得x=4，
∵4＜5，∴⊙O的內(nèi)接正方形的面積能比△ADE的面積大15；
如果⊙O的內(nèi)接正方形的面積比△ADE的面積大30，則x²-x²=30，解得x=4，
∵4＞5，∴⊙O的內(nèi)接正方形的面積不能比△ADE的面積大30．
分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，知y=DE•AH，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式分別表示DE與AH；
（2）首先用含x的代數(shù)式表示OP，然后表示出⊙O的內(nèi)接正方形的面積，最后根據(jù)條件列出方程，求出方程的解，由AB=AC=5與x的值比較，決定取舍．
點評：此題綜合考查函數(shù)、方程與圓的切線，三角函數(shù)等知識．
此題是一個綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質(zhì)．