Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，點M沿AB邊從A點開始向B以2cm/s的速度移動，點N沿DA邊從D點開始向A以1cm/s的速度移動．如果點M、N同時出發(fā)，用t（s）表示移動時間（0≤t≤9），求：
（1）當t為何值時，∠ANM=45°？
（2）計算四邊形AMCN的面積，根據(jù)計算結果提出一個你認為合理的結論；
（3）當t為何值時，以點M、N、A為頂點的三角形與△BCD相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意分析可得：因為對于任何時刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．當NA=AM時，△MAN為等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根據(jù)（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA邊上的高DC=18，由三角形的面積公式可得關系式，計算可得在M、N兩點移動的過程中，四邊形NAMC的面積始終保持不變；
（3）根據(jù)題意，在矩形ABCD中，可分為AN：AB=AM：BC、AN：BC=AM：AB兩種情況來研究，列出關系式，代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答：解：（1）對于任何時刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，
當AN=AM時，△MAN為等腰直角三角形，即：9-t=2t，
解得：t=3（s），
所以，當t=3s時，△MAN為等腰直角三角形．

（2）在△NAC中，NA=9-t，NA邊上的高DC=12，
∴S_△NAC=

1

2

NA•DC=

1

2

（9-t）•18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9，
∴S_△AMC=

1

2

AM•BC=

1

2

•2t•9=9t．
∴S_{四邊形NAMC}=S_△NAC+S_△AMC=81（cm²）．
由計算結果發(fā)現(xiàn)：
在M、N兩點移動的過程中，四邊形NAMC的面積始終保持不變．（也可提出：M、N兩點到對角線AC的距離之和保持不變）

（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況來研究，在矩形ABCD中：
①當 NA：AB=AM：BC時，△NAP∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），
即當t=1.8s時，△NAP∽△ABC；
②當 NA：BC=AM：AB時，△MAN∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），
即當t=4.5s時，△MAN∽△ABC；
所以，當t=1.8s或4.5s時，以點N、A、M為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題比較復雜，考查了等腰三角形、相似三角形的判定定理與性質，是一道具有一定綜合性的好題．