Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，DC切⊙O于點C，AD⊥DC，垂足為D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC=

3

5

，求DC的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，由DC是切線得OC⊥DC；
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC．
即AC平分∠BAD．

（2）方法一：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB•sin∠BAC=AB•sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD=AC•sin∠DAC=AC•sin∠BEC=

24

5

．
方法二：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB•sin∠BAC=AB•sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，

DC

CB

=

AC

AB

，即

DC

6

=

8

10

，
解得DC=

24

5

．