Question

4．如圖，正方形ABCD的邊長為1，AC，BD是對角線．將△DCB繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH，HG交AB于點E，連接DE交AC于點F，連接FG．則下列結(jié)論：
①四邊形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正確的結(jié)論是①②③．

Answer 1

分析 首先證明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度數(shù)，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判斷．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋轉(zhuǎn)得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{DA=DG}\end{array}\right.$，
∴AED≌△GED，故②正確，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四邊形AEGF是菱形，故①正確，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正確．
∵AE=FG=EG=BG，BE=$\sqrt{2}$AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜$\frac{1}{2}$，
∴CB+FG＜1.5，故④錯誤．
故答案為①②③．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是通過計算發(fā)現(xiàn)角相等，學(xué)會這種證明角相等的方法，屬于中考�？碱}型．