Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=

1

2

∠A，sin∠CBF=

5

5

，則BF的長為

 

．

Answer 1

考點：切線的判定與性質,等腰三角形的性質

專題：

分析：因為AB為直徑，所以連結AE，則可知過∠BAE=∠CBF，點C作CG∥BF，在Rt△ABE中可求得BE，進一步求得BC，在Rt△CGB中求出CG和GB，再利用平行線分線段成比例可求得．

解答：解：連結AE，

∵AB是圓O的直徑，
∴∠AEB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AB=AC，
∴∠1=

1

2

∠CAB．
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠1=∠CBF．
過點C作CG⊥AB于點G，
∵sin∠CBF=

5

5

，∠1=∠CBF，
∴sin∠1═

5

5

，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=

5

，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2

5

，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=

AB2-BE2

=2

5

，
∴sin∠2=

2 5

5

，cos∠2=

5

5

，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴

GC

BF

=

AG

AB

，
∴BF=

GC•AB

AG

=

20

3

．
故答案我：

20

3

．

點評：此題主要考查圓的有關性質及平行線分線段定理的應用，解題的關鍵是如何利用已知條件中的sin∠CBF=

5

5

，屬于中檔題，有一定的難度．