【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,ADBC.點(diǎn)ECD邊上一點(diǎn),AEBE分別為∠DAB和∠CBA的平分線.

        (1)請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件   ,使得四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的結(jié)論;

        (2)作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O,并以AB為直徑作⊙O(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);

        (3)在(2)的條件下,⊙O交邊AD于點(diǎn)F,連接BF,交AE于點(diǎn)G,若AE=4,sinAGF=,求⊙O的半徑.

        【答案】(1)當(dāng)AD=BC時(shí),四邊形ABCD是平行四邊形,理由見解析;(2)作出相應(yīng)的圖形見解析;(3)圓O的半徑為2.5.

        【解析】(1)添加條件AD=BC,利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗(yàn)證即可;

        (2)作出相應(yīng)的圖形,如圖所示;

        (3)由平行四邊形的對(duì)邊平行得到ADBC平行,可得同旁內(nèi)角互補(bǔ),再由AEBE為角平分線,可得出AEBE垂直,利用直徑所對(duì)的圓周角為直角,得到AFFB垂直,可得出兩銳角互余,根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到∠AGF=AEB,根據(jù)sinAGF的值,確定出sinAEB的值,求出AB的長,即可確定出圓的半徑.

        (1)當(dāng)AD=BC時(shí),四邊形ABCD是平行四邊形,理由為:

        證明:∵ADBC,AD=BC,

        ∴四邊形ABCD為平行四邊形;

        故答案為:AD=BC;

        (2)作出相應(yīng)的圖形,如圖所示;

        (3)ADBC,

        ∴∠DAB+CBA=180°,

        AEBE分別為∠DAB與∠CBA的平分線,

        ∴∠EAB+EBA=90°,

        ∴∠AEB=90°,

        AB為圓O的直徑,點(diǎn)F在圓O上,

        ∴∠AFB=90°,

        ∴∠FAG+FGA=90°,

        AE平分∠DAB,

        ∴∠FAG=EAB,

        ∴∠AGF=ABE,

        sinABE=sinAGF=

        AE=4,

        AB=5,

        則圓O的半徑為2.5.

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