【題目】(1)如圖1,E是正方形ABCD邊AB上的一點,連接BD、DE,將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.
①線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是 ;
②寫出線段BE,BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系.
(2)當(dāng)四邊形ABCD為菱形,∠ADC=60°,點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點,連接BD、DE,將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.
①如圖2,點E在線段AB上時,請?zhí)骄烤段BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并給出證明;
②如圖3,點E在線段AB的延長線上時,DE交射線BC于點M,若BE=1,AB=2,直接寫出線段GM的長度.
【答案】(1)①DB=DG;②BF+BE=BD;(2)①BF+BE=BD,理由見解析;②GM=.
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可;
②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可;
(2)①根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可;
②作輔助線,計算BD和BF的長,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得BM的長,根據(jù)線段的差可得結(jié)論.
解:(1)①DB=DG,
理由是:
∵∠DBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖1,
由旋轉(zhuǎn)可知,∠BDE=∠FDG,∠BDG=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠CBD=45°,
∴∠G=45°,
∴∠G=∠CBD=45°,
∴DB=DG;
故答案為:DB=DG;
②BF+BE=BD,理由如下:
由①知:∠FDG=∠EDB,∠G=∠DBE=45°,BD=DG,
∴△FDG≌△EDB(ASA),
∴BE=FG,
∴BF+FG=BF+BE=BC+CG,
Rt△DCG中,∵∠G=∠CDG=45°,
∴CD=CG=CB,
∵DG=BD=BC,
即BF+BE=2BC=BD;
(2)①如圖2,BF+BE=BD,
理由如下:在菱形ABCD中,∠ADB=∠CDB=∠ADC=×60°=30°,
由旋轉(zhuǎn)120°得∠EDF=∠BDG=120°,∠EDB=∠FDG,
在△DBG中,∠G=180°﹣120°﹣30°=30°,
∴∠DBG=∠G=30°,
∴DB=DG,
∴△EDB≌△FDG(ASA),
∴BE=FG,
∴BF+BE=BF+FG=BG,
過點D作DM⊥BG于點M,如圖2,
∵BD=DG,
∴BG=2BM,
在Rt△BMD中,∠DBM=30°,
∴BD=2DM.
設(shè)DM=a,則BD=2a,
BM=a,
∴BG=2a,
∴=,
∴BG=BD,
∴BF+BE=BG=BD;
②過點A作AN⊥BD于N,過D作DP⊥BG于P,如圖3,
Rt△ABN中,∠ABN=30°,AB=2,
∴AN=1,BN=,
∴BD=2BN=2,
∵DC∥BE,
∴=,
∵CM+BM=2,
∴BM=,
Rt△BDP中,∠DBP=30°,BD=2,
∴BP=3,
由旋轉(zhuǎn)得:BD=BF,
∴BF=2BP=6,
∴GM=BG﹣BM=6+1﹣=
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC,將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置,連接C′B,C′B=﹣1,則AC=_____.
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【題目】如圖,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中,三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3、4)、C(2,2)(網(wǎng)格中每個正方形的邊長是1個單位長度).
(1)以點B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A′BC′,使△A′BC′與△ABC位似,且位似比為2:1,則點C′的坐標(biāo)是______;
(2)△A′BC′的面積是_______平方單位;
(3)在x軸上找出點P,使得點P到B與點A距離之和最小,請直接寫出P點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,把△ABC 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) n 度(0<n<180)后得到△ADE,并使點 D 落在 AC 的延長線上.
(1)若∠B=17°,∠E=55°,求 n;
(2)若 F 為 BC 的中點,G 為 DE 的中點,連 AG、AF、FG,求證:△AFG 為等腰三角形.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為a,點E在邊AB上運動(不與點A,B重合),∠DAM=45°,點F在射線AM上,且,CF與AD相交于點G,連接EC,EF,EG,則下列結(jié)論:①∠ECF=45°;②的周長為;③ ;④的面積的最大值.其中正確的結(jié)論是____.(填寫所有正確結(jié)論的序號)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A,B不重合),連結(jié)CD,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)BE.
(1)求證:△ACD≌△BCE;
(2)當(dāng)∠1=25°時,求∠E的度數(shù).
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C,且點A在邊A′B′上,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( 。
A. 65°B. 60°C. 50°D. 40°
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【題目】如圖,用6個小正方形構(gòu)造如圖所示的網(wǎng)格圖(每個小正方形的邊長均為2),設(shè)經(jīng)過圖中M、P、H三點的圓弧與AH交于R,則圖中陰影部分面積( )
A.π﹣B.π﹣5C.2π﹣5D.3π﹣2
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【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)抽查部分學(xué)生,并對其寒假期間的課外閱讀量進(jìn)行統(tǒng)計分析,繪制成如圖所示但不完整的統(tǒng)計圖.已知抽查的學(xué)生在寒假期間閱讀量為2本的人數(shù)占抽查總?cè)藬?shù)的,根據(jù)所給出信息,解答下列問題:
(1)求被抽查學(xué)生人數(shù);
(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)若規(guī)定:假期閱讀3本及3本以上課外書者為完成假期作業(yè),據(jù)此估計該校1800名學(xué)生中,完成假期作業(yè)的有多少人?
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