【題目】如圖(1),已知正方形ABCD在直線(xiàn)MN的上方BC在直線(xiàn)MN上,E是BC上一點(diǎn),以AE為邊在直線(xiàn)MN的上方作正方形AEFG.
(1)連接GD,求證:△ADG≌△ABE;
(2)連接FC,觀察并直接寫(xiě)出∠FCN的度數(shù)(不要寫(xiě)出解答過(guò)程)
(3)如圖(2),將圖中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=6,BC=8,E是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),以AE為邊在直線(xiàn)MN的上方作矩形AEFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線(xiàn)CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FCN的大小是否總保持不變,若∠FCN的大小不變,請(qǐng)求出tan∠FCN的值.若∠FCN的大小發(fā)生改變,請(qǐng)舉例說(shuō)明.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)∠FCN=45°,理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FCN的大小總保持不變,tan∠FCN=.理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可.
(2)作FH⊥MN于H.先證△ABE≌△EHF,得到對(duì)應(yīng)邊相等,從而推出△CHF是等腰直角三角形,∠FCH的度數(shù)就可以求得了.
(3)解法同(2),結(jié)合(1)(2)得:△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,得出EH=AD=BC=8,由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論.
(1)證明:∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形,
∴AB=AD,AE=AG=EF,∠BAD=∠EAG=∠ADC=90°,
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,∠ADG=90°=∠ABE,
∴∠BAE=∠DAG,
在△ADG和△ABE中,
,
∴△ADG≌△ABE(AAS).
(2)解:∠FCN=45°,理由如下:
作FH⊥MN于H,如圖1所示:
則∠EHF=90°=∠ABE,
∵∠AEF=∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,
∴∠FEH=∠BAE,在△EFH和△ABE中,
,
∴△EFH≌△ABE(AAS),
∴FH=BE,EH=AB=BC,
∴CH=BE=FH,
∵∠FHC=90°,
∴∠FCN=45°.
(3)當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FCN的大小總保持不變,理由如下:
作FH⊥MN于H,如圖2所示:
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,
結(jié)合(1)(2)得:△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,
∴EH=AD=BC=8,
∴CH=BE,
∴;
在Rt△FEH中,tan∠FCN=,
∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FCN的大小總保持不變,tan∠FCN=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,E是AC邊上的一點(diǎn),且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線(xiàn);
(2)若AB=8,BC=6,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求證:PC是⊙O的切線(xiàn);
(2)求證:BC=AB;
(3)點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,若AB=4,求MNMC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個(gè)不透明的盒子,甲盒中裝有編號(hào)為1,2,3三個(gè)球,乙盒中裝有編號(hào)為4,5,6三個(gè)球,每個(gè)盒子中的球除編號(hào)外其它完全相同,將盒子中的球搖均后,從每個(gè)盒子中隨機(jī)各取一個(gè)球.
(1)從甲盒中取出的球號(hào)數(shù)是3的概率是 ;
(2)請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法,求從兩個(gè)盒子中取出的球號(hào)數(shù)都是偶數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“五一”長(zhǎng)假期間,某玩具超市設(shè)立了一個(gè)如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán),開(kāi)展有獎(jiǎng)購(gòu)買(mǎi)活動(dòng),顧客購(gòu)買(mǎi)玩具就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì),當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí),指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)獎(jiǎng)品.下表是該活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)n | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)m | 68 | 108 | 140 | 355 | 560 | 690 |
落在“鉛筆”區(qū)域的頻率 | 0.68 | 0.72 | 0.70 | 0.71 | 0.70 | 0.69 |
下列說(shuō)法不正確的是( 。
A. 當(dāng)n很大時(shí),估計(jì)指針落子在”鉛筆“區(qū)域的概率大約是0.70
B. 假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次,獲得“鉛筆”概率大約是0.70
C. 如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)3000次,指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有900次
D. 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)20次,一定有6次獲得“文具盒”
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,⊙O與Rt△ACD的兩直角邊分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)F是弧BE的中點(diǎn),∠C=90°,連接AF.
(1)求證:直線(xiàn)DF是⊙O的切線(xiàn).
(2)若BD=1,OB=2,求tan∠AFC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊AD⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,頂點(diǎn)A在第二象限,頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C,D.若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,BE=3DE,則k的值為( 。
A. B. 3 C. D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(xiàn)C1:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D,頂點(diǎn)為M,另一條拋物線(xiàn)C2與x軸也交于A、B兩點(diǎn),且與y軸的交點(diǎn)是C(0,),頂點(diǎn)是N.
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求拋物線(xiàn)C2的函數(shù)表達(dá)式.
(3)是否存在m,使得△OBD與△OBC相似?若存在,請(qǐng)求出m的值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線(xiàn)段AC,AG,AH什么關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請(qǐng)求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請(qǐng)求出定值.
②請(qǐng)直接寫(xiě)出使△CGH是等腰三角形的m值.
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