Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝OB＝3OA．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于此拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線AD，BC交于點(diǎn)P，試判斷直線AD，BC是否垂直，并證明你的結(jié)論；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M，N分別是射線PC，PD上的點(diǎn)，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)P，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACP全等?若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2－2x－3； (2)AD⊥BC；(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－2)．

【解析】試題分析：

（1）由題中條件：二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝OB＝3OA，可得點(diǎn)C（0，-3）、點(diǎn)A（-1,0）、點(diǎn)B（3,0），把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可求得a、b的值，就可得到解析式了；

（2）把（1）中所求解析式配方化為頂點(diǎn)式，得到對(duì)稱軸方程，就可得到D的坐標(biāo)，再由A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組可求得直線AD和直線BC的解析式，計(jì)算兩解析式中“k”的值的乘積是否為“-1”就可判斷兩直線是否垂直了；

（3）如圖，由（2）中所得AD、BC的解析式可列方程組解得P的坐標(biāo)，由射線BC和射線AD互相垂直，垂足為點(diǎn)P，可知△APC和△PMN都是直角三角形；然后分以下兩種情況討論：①當(dāng)PN=PA，M與C重合時(shí)，△APC與△PMN全等；②當(dāng)PM=PA，N與D重合時(shí)，△APC與△PMN全等，并求出相應(yīng)的點(diǎn)M、N的坐標(biāo).

試題解析：

（1）∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a＞0)與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），

∴OC=3，

又∵OC=OB=3OA，

∴OB=3，OA=1，

又∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0），

把A、B的坐標(biāo)代入解析式y＝ax2＋bx－3(a＞0)得： ，解得： ，

∴二次函數(shù)解析式為： ；

（2）由可知，該拋物線的對(duì)稱軸為直線； ，

∵點(diǎn)D和點(diǎn)C（0，-3）關(guān)于直線對(duì)稱，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-3），

設(shè)直線AD和直線BC的解析式分別為； ，把A、B、C、D的坐標(biāo)分別代入相應(yīng)的解析式得： ， ，

解得： ， ，

∴直線AD的解析式為： ；直線BC的解析式為： ，

∴，

∴直線AD和直線BC是互相垂直的；

（3）存在使△APC和△PMN全等的點(diǎn)M和N，理由如下：

由： 解得 ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2），

如上圖：∵射線BC和射線AD互相垂直，垂足為點(diǎn)P，

∴△APC與△PMN都是直角三角形，

∴在下列兩種情況下兩個(gè)三角形全等；

①當(dāng)M與C重合，PN=PA時(shí)，兩三角形全等，此時(shí)M坐標(biāo)為（0，-3），由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N的坐標(biāo)為（3，-4）；

②當(dāng)N與D重合，PM=PA時(shí)，兩個(gè)三角形全等，此時(shí)N的坐標(biāo)為（2，-3），由兩點(diǎn)間距離公式可求得M的坐標(biāo)為（-1，-4）；

綜合①②可知當(dāng)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為：

或時(shí)，△APC與△PMN全等.