【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,BC交⊙O于點E,連接AE.
(1)若D為AC的中點,連接DE,證明:DE是⊙O的切線;
(2)若BE=3EC,求tan∠ABC.
【答案】見解析
【解析】試題分析:(1)要證明DE是⊙O的切線,只要證明等于90°即可,由題可得 =90°,從題上條件可得, ,所以可以得出=90°,從而得出要求證結(jié)論。(2)BE=3EC,要想利用這個條件,可放在ECA和EAB中,證明ECAEAB,即可得到對應(yīng)邊成比例,進(jìn)而得到AE、EC、EB三者之間的關(guān)系,再利用BE=3EC,求得tan∠ABC。
試題解析:證明:(1)連接OE,
∵AB是⊙O的直徑,AC是圓⊙O的切線,
∴AE⊥BC,AC⊥AB,
在直角△AEC中,
∵D為AC的中點,
∴DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,
∵∠OEB=∠OBE,∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠DEC+∠OEB=∠DCE+∠OBE=90°,
∴∠DEO=180°﹣90°=90°,∴OE⊥DE,
∴DE 是⊙O的切線;
(2)在直角△EAC與直角△EBA中,
∵∠EAC+∠EAB=90°,∠EBA+∠EAB=90°,
∴∠EAC=∠EBA,
∴△EAC∽△EBA,
∴,EA2=EBEC
設(shè)EC=1,則EB=3,
EA2=EBEC=3, ,
在直角△AEB中, .
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【題目】如圖,科技小組準(zhǔn)備用材料圍建一個面積為60m2的矩形科技園ABCD,其中一邊AB靠墻,墻長為12m,設(shè)AD的長為m,DC的長為m.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m,材料AD和DC的長都是整米數(shù),求出滿足條件的所有圍建方案.
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【題目】如圖是一個糧倉,其頂部是一個圓錐,底部是一個圓柱.
(1)畫出糧倉的三視圖;
(2)若這個圓錐的底面周長為32 m,母線長為7 m,為防雨需要在糧倉頂部鋪上油氈,則至少需要多少油氈(油氈接縫重合部分不計)?
(3)若這個圓柱的底面圓半徑為8 m,高為5 m,糧食最多只能裝至圓柱同樣高,則這個糧倉最多可以存放多少糧食(結(jié)果保留π)?
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【題目】如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系。
小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長FD到點G,使DG=BE.連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是 ;
如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由。
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【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)的圖象與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C,且OC=OB=3OA.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)點D是點C關(guān)于此拋物線對稱軸的對稱點,直線AD,BC交于點P,試判斷直線AD,BC是否垂直,并證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的條件下,若點M,N分別是射線PC,PD上的點,問:是否存在這樣的點M,N,使得以點P,M,N為頂點的三角形與△ACP全等?若存在請求出點M,N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C,與x軸交于點A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),頂點M的縱坐標(biāo)為-4,若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的兩個根,且x12+x22=10.
①求A、B兩點的坐標(biāo);
②求拋物線的關(guān)系式及點C的坐標(biāo);
③在拋物線上是否存在點P,使△ABP的面積等于四邊形ACMB面積的2倍?若存在,求出所有符合條件的點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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