Question

14．如圖，拋物線y=x²-mx-3（m＞0）交y軸于點(diǎn)C，CA⊥y軸，交拋物線于點(diǎn)A，點(diǎn)B在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，BE⊥y軸，交y軸于點(diǎn)E，交AO的延長線于點(diǎn)D，BE=2AC．
（1）用含m的代數(shù)式表示BE的長．
（2）當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，判斷點(diǎn)D是否落在拋物線上，并說明理由．
（3）若AG∥y軸，交OB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．
①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值．
②連結(jié)AE，交OB于點(diǎn)M，若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，求出點(diǎn)A橫坐標(biāo)即可解決問題．
（2）求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后判斷即可．
（3）①首先根據(jù)EO=2FG，證明BG=2DE，列出方程即可解決問題．
②求出直線AE、BO的解析式，求出交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵C（0，-3），AC⊥OC，
∴點(diǎn)A縱坐標(biāo)為-3，
y=-3時(shí)，-3=x²-mx-3，解得x=0或m，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（m，-3），
∴AC=m，
∴BE=2AC=2m．
（2）∵m=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，-3），
∴直線OA為y=-$\sqrt{3}$x，
∴拋物線解析式為y=x²-$\sqrt{3}$x-3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（2$\sqrt{3}$，3），
∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為3，
對(duì)于函數(shù)y=-$\sqrt{3}$x，當(dāng)y=3時(shí)，x=-$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-$\sqrt{3}$，3）．
∵對(duì)于函數(shù)y=x²-$\sqrt{3}$x-3，x=-$\sqrt{3}$時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)D在落在拋物線上．
（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四邊形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵$\frac{1}{2}$•DE•EO=$\frac{1}{2}$•GB•GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{EO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)（2m，2m²-3），
∴OC=2OE，
∴3=2（2m²-3），
∵m＞0，
∴m=$\frac{3}{2}$．
②∵A（m，-3），B（2m，2m²-3），E（0，2m²-3），
∴直線AE解析式為y=-2mx+2m²-3，直線OB解析式為y=$\frac{2{m}^{2}-3}{2m}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2mx+2{m}^{2}-3}\\{y=\frac{2{m}^{2}-3}{2m}x}\end{array}\right.$消去y得到-2mx+2m²-3=$\frac{2{m}^{2}-3}{2m}$x，解得x=$\frac{4{m}^{3}-6m}{6{m}^{2}-3}$，
∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)為$\frac{4{m}^{3}-6m}{6{m}^{2}-3}$，
∵△AMF的面積=△BFG的面積，
∴$\frac{1}{2}$•（$\frac{2{m}^{2}-3}{2}$+3）•（m-$\frac{4{m}^{3}-6m}{6{m}^{2}-3}$）=$\frac{1}{2}$•m•$\frac{1}{2}$•（2m²-3），
整理得到：2m⁴-9m²=0，
∵m＞0，
∴m=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、三角形面積問題、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，通過方程組解決問題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．