Question

6．如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EH∥BC即可證明．
（2）如圖設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M，首先證明四邊形EFDM是矩形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，再利用△AEH∽△ABC，得$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如圖設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四邊形EFDM是矩形，
∴EF=DM，設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，
∴$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，
∴x=$\frac{120}{7}$，
∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為$\frac{120}{7}$cm，面積為$\frac{14400}{49}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比對(duì)于高的比，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型．