Question

如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，若BG=4，則△CEF的面積是（　�。�

• A、4

  5

• B、3

  5

• C、2

  5

• D、

  5

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；然后，證明△ABE∽△FCE，再分別求出△ABE的面積，然后根據(jù)面積比等于相似比的平方即可得到答案．

解答：解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
∵BG⊥AE，垂足為G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=4，
∴AG=

AB2-BG2

=2

5

，
∴AE=2AG=4

5

；
∴S_△ABE=

1

2

AE•BG=

1

2

×4

5

×4=8

5

．
∵BE=6，BC=AD=9，
∴CE=BC-BE=9-6=3，
∴BE：CE=6：3=2：1．
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴S_△ABE：S_△CEF=（BE：CE）²=4：1，
則S_△CEF=

1

4

×8

5

=2

5

，
故選C．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中．