Question

【題目】如圖，曲線是拋物線的一部分，與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且表達(dá)式，曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱．

（1）求三點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)作軸交曲線于點(diǎn)，連結(jié)，在曲線．上有一點(diǎn)，使得四邊形為箏形（如果一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A(－1， 0)、B(3， 0)、C(0， )；（x≥3）；（2）．

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，解得x=-1或3；當(dāng)x=0時(shí)，，從而求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求出點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出的表達(dá)式；

（2）利用對(duì)稱性求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出AC＝DC＝2，從而得出點(diǎn)C在AD的垂直平分線上，過點(diǎn)A、M分別作x軸的垂線，與直線CD分別交于點(diǎn)G、H，那么∠ADG＝∠CMH，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠ADC，設(shè)M，列出方程即可求出結(jié)論．

解：（1）由，

當(dāng)時(shí)，解得x=-1或3；當(dāng)x=0時(shí)，；

∴A(－1， 0)、B(3， 0)、C(0， )．

∵A(－1， 0)、B(3， 0) 關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱點(diǎn)為A′(7， 0)、B(3， 0)，

∴拋物線y2的表達(dá)式為：（x≥3）．

（2）由CD//x軸，可知C、D關(guān)于拋物線y1的對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，

所以D(2，)．

由A(－1， 0)、C(0，)、D(2，)，

∴AC=，CD=2

∴AC＝DC＝2．

∴點(diǎn)C在AD的垂直平分線上．

如果四邊形ACDM的對(duì)角線互相垂直平分，那么四邊形ACDM是菱形，此時(shí)點(diǎn)M在x軸上，不在拋物線y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情況．

如上圖，過點(diǎn)A、M分別作x軸的垂線，與直線CD分別交于點(diǎn)G、H，那么∠ADG＝∠CMH．

由于tan∠ADG＝＝，所以∠ADC＝30°．因此．

設(shè)M，那么．

整理，得x2－13x＋24＝0．解得．

所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．