Question

13．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究各種多邊形數(shù)，比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)位正方形數(shù)（四邊形數(shù)）．
（1）請你寫出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)且大于1的最小正整數(shù)為36；
（2）試證明：當(dāng)k為正整數(shù)時，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必須為正方形數(shù)；
（3）記第n個k變形數(shù)位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．
①試直接寫出N（n，3）N（n，4）的表達(dá)式；
②通過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，N（n，6）=2n²-n，…，請你推測N（n，k）（k≥3）的表達(dá)式，并由此計算N（10，24）的值．

Answer 1

分析 （1）圖1中1、3、6、10，…，第n個圖中點的個數(shù)是1+2+3+…+n，即$\frac{n（n+1）}{2}$；圖2中1、4、9、16，…，第n個圖中點的個數(shù)是n²，求出能同時滿足兩個式子的數(shù)，即可得出結(jié)果；
（2）通過因式分解，將k（k+1）（k+2）（k+3）+1化解為完全平方數(shù)，即為正方形數(shù)；
（3）①由圖1中1、3、6、10，…，第n個圖中點的個數(shù)是1+2+3+…+n，即$\frac{n（n+1）}{2}$；圖2中1、4、9、16，…，第n個圖中點的個數(shù)是n²，即可得出結(jié)果；
②由N（n，3）=$\frac{（3-2）{n}^{2}+（4-3）n}{2}$，N（n，4）=$\frac{（4-2）{n}^{2}+（4-4）n}{2}$，N（n，5）=$\frac{（5-2）{n}^{2}+（4-5）n}{2}$，N（n，6）=$\frac{（6-2）{n}^{2}+（4-6）n}{2}$，可推斷N（n，k）=$\frac{（k-2）{n}^{2}+（4-k）n}{2}$（k≥3），將N（10，24）代入即可得出結(jié)果．

解答 （1）解：∵正方形數(shù)點的個數(shù)是為n²，∴除1外，分別為4，9，16，25，36，49，64，…，
∵圖1中1、3、6、10，…，第n個圖中點的個數(shù)是1+2+3+…+n，即三角形數(shù)點的個數(shù)是為$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵4=$\frac{n（n+1）}{2}$無正整數(shù)解，∴4不是三角形數(shù)，
∵9=$\frac{n（n+1）}{2}$無正整數(shù)解，∴9不是三角形數(shù)，
∵16=$\frac{n（n+1）}{2}$無正整數(shù)解，∴16不是三角形數(shù)，
∵25=$\frac{n（n+1）}{2}$無正整數(shù)解，∴25不是三角形數(shù)，
∵36=$\frac{n（n+1）}{2}$，解得n=8，所以36是三角形數(shù)，
∴除1外，最小的既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是36，
故答案為36；
（2）證明：∵k（k+1）（k+2）（k+3）+1
=k（k+3）（k+1）（k+2）+1
=（k²+3k）（k²+3k+2）+1
=（k²+3k）²+2（k²+3k）+1
=（k²+3k+1）²
∴k（k+1）（k+2）（k+3）+1是完全平方數(shù)，即為正方形數(shù)；
（3）解：①由（1）知：N（n，3）=$\frac{n（n+1）}{2}$，N（n，4）=n²；
②∵N（n，3）=$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$=$\frac{（3-2）{n}^{2}+（4-3）n}{2}$，
N（n，4）=n²=$\frac{2{n}^{2}+0×n}{2}$=$\frac{（4-2）{n}^{2}+（4-4）n}{2}$，
N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$=$\frac{（5-2）{n}^{2}+（4-5）n}{2}$，
N（n，6）=2n²-n=$\frac{4{n}^{2}-2n}{2}$=$\frac{（6-2）{n}^{2}+（4-6）n}{2}$，
∴由此變化規(guī)律可推斷N（n，k）=$\frac{（k-2）{n}^{2}+（4-k）n}{2}$（k≥3）；
∴N（10，24）=$\frac{（24-2）×1{0}^{2}+（4-24）×10}{2}$=1000．

點評 本題考查三角形數(shù)、正方形數(shù)的規(guī)律、完全平方數(shù)與歸納推理等知識，觀察已知式子的規(guī)律并改寫形式是解決問題的關(guān)鍵．