Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），與直線y=x﹣4交于B，D兩點

（1）求拋物線的解析式并直接寫出D點的坐標(biāo)；

（2）點P為直線BD下方拋物線上的一個動點，試求出△BDP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

（3）點Q是線段BD上異于B、D的動點，過點Q作QF⊥x軸于點F，交拋物線于點G，當(dāng)△QDG為直角三角形時，直接寫出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=（x+2）（x﹣4），D的坐標(biāo)是（﹣1，﹣5）；（2）P（，﹣）；（3）點Q的坐標(biāo)為（2，﹣2）或（3，﹣1）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），將點C的坐標(biāo)代入可求得a的值，然后將y=x﹣4與拋物線的解析式聯(lián)立方程組并求解即可；

（2）過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設(shè)P（x，x2﹣2x﹣8），則E（x，x﹣4），則PE═﹣x2+3x+4，然后依據(jù)S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）設(shè)直線y=x﹣4與y軸相交于點K，則K（0，﹣4），設(shè)G點坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣8），點Q點坐標(biāo)為（x，x﹣4），先證明△QDG為等腰直角三角形，然后根據(jù)∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)是A（﹣2，0）、B（4，0），

∴設(shè)該拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），

將點C（0，﹣8）代入函數(shù)解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，

解得a=1，

∴該拋物線的解析式為：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．

聯(lián)立方程組：，

解得（舍去）或，

即點D的坐標(biāo)是（﹣1，﹣5）；

（2）如圖所示：

過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設(shè)P（x，x2﹣2x﹣8），則E（x，x﹣4）．

∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．

∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE（xp﹣xD）+PE（xB﹣xE）=PE（xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．

∴當(dāng)x=時，△BDP的面積的最大值為．

∴P（，﹣）．

（3）設(shè)直線y=x﹣4與y軸相交于點K，則K（0，﹣4），設(shè)G點坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣8），點Q點坐標(biāo)為（x，x﹣4）．

∵B（4，0），

∴OB=OK=4．

∴∠OKB=∠OBK=45°．

∵QF⊥x軸，

∴∠DQG=45°．

若△QDG為直角三角形，則△QDG是等腰直角三角形．

①當(dāng)∠QDG=90°時，過點D作DH⊥QG于H，

∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，

∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，

∴Q1（2，﹣2）．

②當(dāng)∠DGQ=90°，則DH=QH．

∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，

∴Q2（3，﹣1）．

綜上所述，當(dāng)△QDG為直角三角形時，點Q的坐標(biāo)為（2，﹣2）或（3，﹣1）．