Question

【題目】運用“同一個圖形的面積用不同方式表示”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為等面積法．學(xué)有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高BD=h，M是底邊BC上的任意一點，M到腰AB的距離ME=h1，M到腰AC的距離MF=h2．

（1）請你結(jié)合圖形1來證明：h1+h2=h；

（2）當點M在BC的延長線上時，h1、h2、h之間又有什么樣的結(jié)論，請你在圖2中畫出圖形；

（3）請利用以上結(jié)論解答下列問題，如圖3，在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y=，l2：y=﹣3x+3，若l2上的一點M到l1的距離是1，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）h1+h2=h；（2）h1﹣h2=h，圖詳見解析；（3）點M的坐標為M（，2）或（﹣，4）．

【解析】

（1）根據(jù)S△ABC=S△ABM+S△AMC即可求出答案；

（2）h1-h2=h；

（3）先求得△ABC為等腰三角形，再根據(jù)（1）（2）的結(jié)果分①當點M在BC邊上時，②當點M在CB延長線上時，求得M的坐標．③當點M在BC的延長線上時，h1=1＜h，不存在；

（1）連接AM，由題意得h1=ME，h2=MF，h=BD，

∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，

S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，

S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，

又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，AB=AC，

∴×AC×h=×AB×h1+ ×AC×h2，

∴h1+h2=h．

（2）如圖所示：

h1﹣h2=h．

（3）在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=﹣4，

所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．

AB==5，AC=5，所以AB=AC，

即△ABC為等腰三角形．

①當點M在BC邊上時，由h1+h2=h得：1+My=OB，My=3﹣1=2，

把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=，

所以此時M（，2）．

②當點M在CB延長線上時，由h1﹣h2=h得：My﹣1=OB，My=3+1=4，

把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=﹣，

所以此時M（﹣，4）．

③當點M在BC的延長線上時，h1=1＜h，不存在；

綜上所述：點M的坐標為M（，2）或（﹣，4）．