Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0），B（，0），且與y軸相交于點C．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求∠ACB的度數(shù)；

（3）設點D是所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側，點E在線段AC上，且DE⊥AC，當△DCE與△AOC相似時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D（， ）．

【解析】試題分析: （1）把點A、B、C的坐標分別代入已知拋物線的解析式列出關于系數(shù)的三元一次方程組

9a3b+c＝0 a+b+c＝0 4a2b+c＝1

，通過解該方程組即可求得系數(shù)的值；
（2）由（1）中的拋物線解析式易求點M的坐標為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關系式為y=

1

3

x+1．由題意設點D的坐標為（x0，

1

3

x02

2

3

x0+1），則點F的坐標為（x0，

1

3

x0+1）．易求DF=

1

3

x02

2

3

x0+1(

1

3

x0+1)=

1

3

x02x0＝

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求線段DF的最大值；
（3）需要對點P的位置進行分類討論：點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況．此題主要利用相似三角形的對應邊成比例進行解答．

試題解析: 由題意可知

9a3b+c＝0 a+b+c＝0 4a2b+c＝1

．解得

a＝ 1 3 b＝ 2 3 c＝1

．
∴拋物線的表達式為y=-

1

3

x2

2

3

x+1．

（2）將x=0代入拋物線表達式，得y=1．∴點M的坐標為（0，1）．
設直線MA的表達式為y=kx+b，則

b＝1 3k+b＝0

．
解得