【題目】已知二次函數(shù)y=x2-2(m+1)x+2m+1(m為常數(shù)),函數(shù)圖像的頂點為C.
(1)若該函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點,求點C的坐標(biāo);
(2)該函數(shù)的圖像與x軸分別交于點A、B,若以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形,求m的值.
【答案】(1),(2)m的值為1或-1
【解析】
(1)把(0,0)代入y=x2-2(m+1)x+2m+1可求出m的值,可得二次函數(shù)解析式,配方即可得出C點坐標(biāo);(2)令y=0,可用m表示出x1和x2,即可表示出AB的距離,根據(jù)二次函數(shù)解析式可用含m的代數(shù)式表示頂點C的坐標(biāo),根據(jù)以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形可得關(guān)于m的方程,解方程求出m的值即可.
(1)解:∵y=x2-2(m+1)x+2m+1的圖像經(jīng)過點(0,0)
∴2m+1=0,
∴m=-,
當(dāng)m=-時,y=x2-x=(x-)2-,
∴頂點C的坐標(biāo)(,-).
(2)解:當(dāng)y=0時x2-2(m+1)x+2m+1=0
∴x1=2m+1,x2=1,
∴AB=,
∵y=x2-2(m+1)x+2m+1=(x-m-1)2-m2,
∴頂點C的坐標(biāo)(m+1,-m2),
∵以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形,
∴2m2=,
當(dāng)2m2=2m時,m1=0,m2=1,
當(dāng)2m2=-2m時,m1=0,m2=-1,
當(dāng)m=0時,AB=0(舍)
答:m的值為1或-1.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,面積為1的等腰直角△OA1A2,∠OA2A1=90°,以OA2為斜邊在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3,以OA3為斜邊在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4,以OA4為斜邊在△OA3A4外部作等腰直角△OA4A5,…,連接A1A3,A2A4,A3A5,…分別與OA2,OA3,OA4,交于點C1,C2,C3,按此規(guī)律繼續(xù)下去,則△OAnCn的面積等于_____.(用含正整數(shù)n的式子表示)
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【題目】如圖,直線AB和拋物線的交點是A(0,-3),B(5,9),已知拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2.
(1)求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo);
(2)在軸上是否存在一點C,與A,B組成等腰三角形?若存在,求出點C的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)在直線AB的下方拋物線上找一點P,連接PA,PB使得△PAB的面積最大,并求出這個最大值.
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【題目】如圖(1)所示,等邊△ABC中,線段AD為其內(nèi)角角平分線,過D點的直線B1C1⊥AC于點C1交AB的延長線于點B1.
(1)請你探究:=,=是否都成立?
(2)請你繼續(xù)探究:若△ABC為任意三角形,線段AD為其內(nèi)角角平分線,請問=一定成立嗎?并證明你的判斷.
(3)如圖(2)所示Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=,E為AB上一點且AE=5,CE交其內(nèi)角角平分線AD于F.試求的值.
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【題目】如圖,O是菱形ABCD對角線BD上的一點,且OC=OD,連接OA.
(1)求證:∠AOC=2∠ABC;
(2)求證:CD2=OD·BD.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax﹣1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點,與x軸交于點C,與y軸交于點D,已知OA=,tan∠AOC=.
(1)求a,k的值及點B的坐標(biāo);
(2)觀察圖象,請直接寫出不等式ax﹣1≥的解集;
(3)在y軸上存在一點P,使得△PDC與△ODC相似,請你求出P點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,點P從點A出發(fā),沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動;同時,動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動,將△PQC沿BC翻折,點P的對應(yīng)點為點P′,設(shè)Q點運動的時間為t秒,若四邊形QPCP′為菱形,則t的值為_____.
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【題目】甲、乙在400米的直線跑道上從同一地點同向勻速跑步,先到終點的人原地休息.已知甲先出發(fā)3秒,跑步過程中兩人的距離y(米)與乙出發(fā)的時間t(秒)之間的關(guān)系如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 乙的速度是4米/秒
B. 離開起點后,甲、乙兩人第一次相遇時,距離起點12米
C. 甲從起點到終點共用時83秒
D. 乙到達終點時,甲、乙兩人相距68米
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【題目】如圖,正方形ABCD的四個頂點分別在正方形EFGH的四條邊上,我們稱正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形.
探究一:巳知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD面積的2倍?如圖,假設(shè)存在正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD的2倍.
因為正方形ABCD的面積為1,則正方形EFGH的面積為2,
所以EF=FG=GH=HE=,設(shè)EB=x,則BF=﹣x,
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=﹣x
在Rt△AEB中,由勾股定理,得
x2+(﹣x)2=12
解得,x1=x2=
∴BE=BF,即點B是EF的中點.
同理,點C,D,A分別是FG,GH,HE的中點.
所以,存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD面積的2倍
探究二:巳知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD面積的3倍?(仿照上述方法,完成探究過程)
探究三:巳知邊長為1的正方形ABCD, 一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD面積的4倍?(填“存在”或“不存在”)
探究四:巳知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD面積的n倍?(n>2)(仿照上述方法,完成探究過程)
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