【題目】如圖(1)所示,等邊△ABC中,線段AD為其內(nèi)角角平分線,過D點的直線B1C1AC于點C1AB的延長線于點B1

(1)請你探究:,是否都成立?

(2)請你繼續(xù)探究:若ABC為任意三角形,線段AD為其內(nèi)角角平分線,請問一定成立嗎?并證明你的判斷.

(3)如圖(2)所示RtABC中,ACB90°,AC8AB,EAB上一點且AE5CE交其內(nèi)角角平分線ADF.試求的值.

【答案】(1)兩個等式都成立.理由見解析; (2)結(jié)論仍然成立,理由見解析;(3)

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC,∠CAD=BAD=30°AB=AC,則DB=CD,易得;由于∠C1AB1=60°,得∠B1=30°,則AB1=2AC1,同理可得到DB1=2DC1,易得

2)過B點作BEACAD的延長線于E點,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠E=CAD=BAD,則BE=AB,并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD,得到,而BE=AB,于是有,這實際是三角形的角平分線定理;

3AD為△ABC的內(nèi)角角平分線,由(2)的結(jié)論得到,又,則有,得到DEAC,根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF,即有.

解:(1)兩個等式都成立.理由如下:

∵△ABC為等邊三角形,AD為角平分線,

AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD30°,ABAC,

DBCD,

,

∵∠C1AB160°,

∴∠B130°,

AB12AC1,

又∠DAB130°,

DADB1,

DA2DC1

DB12DC1,

;

(2)結(jié)論仍然成立,理由如下:

如圖所示,

ABC為任意三角形,過B點作BEACAD的延長線于E點,

∴∠E=∠CAD=∠BAD

BEAB,

BEAC

∴△EBD∽△ACD,

BEAB,

(3)如圖,連接DE,

AD為△ABC的內(nèi)角角平分線,

,

,

,

DEAC

∴△DEF∽△ACF,

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組別

分?jǐn)?shù)/

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B

70x≤80

C

80x≤90

D

90x≤100

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