Question

如圖，拋物線y=-

4

9

x²-

4

9

mx+

8

9

m²（m＞0）與x軸相交于A、B兩點，點H是拋物線的頂點，以AB為直徑作⊙G交y軸于E、F兩點，EF=4

2

．
（1）求m的值和⊙G的半徑R；
（2）連接AH，求線段AH的長度；
（3）問：射線GH上是否存在一點P，使以點P為圓心作圓，能與直線AH和⊙G同時相切？若存在，求點P的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接GE，在Rt△GEO中，將GE、GO和EO的長用m表示出來，再由勾股定理得GE²=GO²+EO²即可求解．
（2）根據拋物線的解析式，可以得出H點的坐標，繼而得出AH的長；
（3）假設存在這樣的點，再直線AH和⊙G同時相的條件進行求解即可．

解答：解：（1）-

4

9

x²-

4

9

mx+

8

9

m²=0，
∴x²+mx-2m²=0，
∵m＞0，
∴A（-2m，0），B（m，0），（2分）
∴AB=3m，⊙G的半徑R=

3

2

m，
∴OB=m，BG=

3

2

m，
∴OG=

1

2

m，
∴G（-

m

2

，0），
∵EF⊥x軸，AB為直徑，EF=4

2

，
∴EO=2

2

，（1分）
連接GE，在Rt△GEO中，由勾股定理得GE²=GO²+EO²
解得m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，R=3．（2分）

（2）∵m=2，
∴y=-

4

9

x2-

8

9

x+

32

9

，
∴H（-1，4）
又∵A（-4，0），
∴AH=

(-1+4)2+42

=5．（2分）

（3）設⊙P的半徑為R'，P點的坐標為（-1，k），
由題意可知，當k＞4時，不符合題意，
所以0＜k＜4．
因為⊙P與直線AH相切，過點P作PM⊥AH，垂足為點M，PM=r_P
∴HP=4-k，R'=HP•sin∠AHG=

3(4-k)

5

，（1分）
①當⊙P與⊙G內切時，3-R'=k，
∴3-

3(4-k)

5

=k，解得k=

3

2

，
∴P(-1，

3

2

)（2分）
②當⊙P與⊙G外切，3+R'=k
∴3+

3(4-k)

5

=k，解得k=

27

8

，
∴P(-1，

27

8

)（2所以滿足條件的P點有：P(-1，

3

2

)，P(-1，

27

8

)．分）

點評：本題考查了二次函數的知識，難度較大，基于二次函數的綜合題是中考中常見的問題，要注意各部分知識的綜合利用，對這類綜合題要善于總結其思路與方法．