如圖,已知P為∠AOB的平分線OP上一點,PC⊥OA于點C,∠0AP+∠0BP=180°.求證:AO+BO=2CO.
分析:作PD⊥OB于D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)就可以得出PC=PD,就有△PCO≌PDO,就可以得出△ACP≌△BDP,進而得出結(jié)論.
解答:證明:作PD⊥OB于D.
∴∠PDO=90°.
∵P為∠AOB的平分線OP上一點,PC⊥OA
∴PC=PD.∠PCA=90°.
∴∠PCA=∠PDO.
在Rt△PCO和RtPDO中,
PO=PO
PC=PD
,
∴Rt△PCO≌RtPDO(HL),
∴OC=OD.
∵∠OBP+∠DBP=180°,且∠0AP+∠0BP=180°,
∴∠OAP=∠DBP.
在△ACP和△BDP中,
∠PCA=∠PDO
∠OAP=∠DBP
PC=PD
,
∴△ACP≌△BDP(AAS),
∴AC=BD.
∵AO+BO=AC+CO+BO,
∴AO+BO=BD+BO+CO,
∴AO+BO=DO+CO,
∴AO+BO=2CO.
點評:本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用,直角三角形的性質(zhì)的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.
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