Question

如圖①，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點C，AD⊥EF，垂足為D．
（1）求證：∠DAC=∠BAC；
（2）若把直線EF向上平行移動，如圖②，EF交⊙O于G、C兩點，若題中的其它條件不變，猜想：此時與∠DAC相等的角是哪一個？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）連接BC，OC，由半徑OC=OA，根據(jù)等邊對等角可得出一對角相等，再由OC與AD都與EF垂直，得到OC與AD平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得一對內(nèi)錯角相等，等量代換可得出∠DAC=∠BAC，得證；
（2）∠BAG=∠CAD，理由如下：連接BC，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得出∠BCA為直角，即三角形ABC為直角三角形，根據(jù)直角三角形中的兩個銳角互余可得出一對角互余，由AD垂直于EF，可得出三角形AGD為直角三角形，同理得到一對銳角互余，再由同弧所對的圓周角相等可得出∠B與∠AGD相等，進而確定出∠BAG=∠GAD，等式兩邊都減去∠CAG即可得到∠BAC=∠GAD，得證．

解答：
解：（1）連接OC，如圖①所示，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠BAC；                          
（2）∠BAG=∠DAC，理由如下：
連接BC，如圖②所示，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵AD⊥EF，∴∠ADG=90°，
∴∠AGD+∠GAD=90°，
又

AC

=

AC

，∴∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD，
∴∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC，即∠BAG=∠DAC．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，利用了等量代換及轉(zhuǎn)化的思想，連接出相應的輔助線，靈活運用性質(zhì)及定理是解本題的關鍵．