Question

16．如圖，有一張直角三角形紙片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角邊AC在x軸上，B點(diǎn)在第二象限，A（$\sqrt{3}$，0），AB交y軸于E，將紙片過E點(diǎn)折疊使BE與EA所在的直線上，得到折痕EF（F在x軸上），再展開還原沿EF剪開得到四邊形BCFE，然后把四邊形BCFE從E點(diǎn)開始沿射線EA方向平行移動(dòng)，至B點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)停止（記平移后的四邊形為B₁C₁F₁E₁）．在平移過程中，設(shè)平移的距離BB₁=x，四邊形B₁C₁F₁E₁與△AEF重疊的面積為S．
（1）求折痕EF的長；
（2）平移過程中是否存在點(diǎn)F₁落在y軸上？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由；
（3）直接寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x（0≤x≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{7\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}（4＜x≤6）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用30°的角的直角三角形求解即可求出折痕EF的長．
（2）存在，作B₁D⊥BC，由（1）可得FO的長，進(jìn)而可求出B₁D的長度，在直角三角形中可求出BB₁，即x的值．
（3）分4種情況討論①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，即點(diǎn)E到A時(shí)經(jīng)過的面積，②當(dāng)2＜x≤$\frac{10}{3}$時(shí)，S為△AEF的面積，③當(dāng)$\frac{10}{3}$＜x≤4時(shí)，④當(dāng)4＜x≤6時(shí)，根據(jù)四邊形B₁C₁F₁E₁與△AEF重疊的面積為S與x關(guān)系求出表達(dá)式及自變量x的取值范圍．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵A（$\sqrt{3}$，0），
∴EO=1，
∵∠EFO=60°，∠EOF=90°，
∴EF=$\frac{EO}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（2）存在，理由如下：
如圖1，作B₁D⊥BC，

∵FO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴B₁D=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠B=60°
∴BB₁=$\frac{{B}_{1}D}{sin60°}$=$\frac{2}{3}$，即x=$\frac{2}{3}$，
（3）①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，即點(diǎn)E到A時(shí)經(jīng)過的面積，如圖2，

∵AO=$\sqrt{3}$，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴AE=2，
∵BB₁=EE₁=x，
∴E₁A=2-x，
∴E₁M=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x），
∴S=$\frac{1}{2}$（EF+E₁M）•E₁E=$\frac{1}{2}$[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x）]•x=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x
②當(dāng)2＜x≤$\frac{10}{3}$時(shí)，S為△AEF的面積，
所以S=$\frac{1}{2}$EF•AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
③當(dāng)$\frac{10}{3}$＜x≤4時(shí)，如圖3

∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AC=3$\sqrt{3}$，
∵AO=$\sqrt{3}$，OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴此時(shí)BB₁=$\frac{10}{3}$，即當(dāng)B₁C₁過點(diǎn)F時(shí)x=$\frac{10}{3}$，
當(dāng)x＞$\frac{10}{3}$時(shí)，F(xiàn)M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{10}{3}$），在RT△NMF中，NM=$\sqrt{3}$FM=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{10}{3}$），
∴△NMF的面積為：$\frac{1}{2}$FM•MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{10}{3}$）×$\frac{3}{2}$（x-$\frac{10}{3}$），
∴S=S_△AEF-S_△NMF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{10}{3}$）×$\frac{3}{2}$（x-$\frac{10}{3}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{5}{2}$x-$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
④當(dāng)4＜x≤6時(shí)，如圖4，

∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AB=6，
AB₁=6-x，
∴DB₁=$\frac{1}{2}$（6-x），AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x），
∴S=$\frac{1}{2}$DA•DB₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（6-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
綜上可知S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x（0≤x≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{7\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}（4＜x≤6）}\end{array}\right.$，
故答案為：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x（0≤x≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{7\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}（4＜x≤6）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何變換綜合題，涉及直角三角形，梯形面積，三角形面積及坐標(biāo)軸，第三小題是難點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是要分4種情況討論，本題還考查了分段函數(shù)的知識(shí)，二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角函數(shù)的應(yīng)用．難度較大，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求很高．