Question

如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸與點A（0，4），直線DM⊥x軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=6，連接DA，∠DAC=90°．
（1）求點D的坐標及過O、D、B三點的拋物線的解析式；
（2）若點P是線段MB上一動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交上問中的拋物線于點E．
①連接CE．請求出滿足四邊形DCEF為平行四邊形的點P的坐標；
②連接CE，是否存在點P，使△BPF與△FCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點D的坐標，再把O（0，0）、D（2，6）、B（4，0），代入y=ax²+bx+c，即可求出過O、D、B三點的拋物線的解析式；
（2）先求出AB所在的直線解析式，利用EF=CD列出方程求解即可．
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），設(shè)拋物線的交點式，將D點坐標代入求拋物線解析式，由于對頂角∠CFE=∠BFP=45°，故當△BPF與△FCE相似時，分為：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°兩種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求P點坐標．

解答：解：（1）∵B（4，0），
∴OB=4，
∴OM=

1

2

OB=2，
∵DM=6，
∴D（2，6），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把O（0，0）、D（2，6）、B（4，0），代入得

c=0 4a+2b+c=6 16a+4b+c=0

，
解得

a=- 3 2 b=6 c=0

∴過O、D、B三點的拋物線的解析式為y=-

3

2

x²+6x．
（2）①∵B（4，0），A（0，4），
∴AB所在的直線解析式為y=-x+4，
∵DM=2，
∴C（2，2），
∴CD=6-2=4，
當EF=6時，滿足四邊形DCEF為平行四邊形，
設(shè)點P（a，0），
∴F的縱坐標為-a+4，
E的縱坐標為-

3

2

a²+6a．
∴EF=-

3

2

a²+6a-（-a+4）=4，解得a=2（舍去）或a=

8

3

，
∴P（

8

3

，0）．
（3）存在．
∵過O、D、B三點的拋物線的解析式為y=-

3

2

x²+6x．由①得C（2，2），設(shè)P（x，0），
∴MP=x-2，PB=4-x，
①當∠ECF=∠BPF=90°時（如圖1），△BPF與△FCE相似，
過C點作CH⊥EF，

此時，△CHE、△CHF、△PBF為等腰直角三角形，
則PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4-x+2（x-2）=x，
將E（x，x）代入拋物線y=-

3

2

x（x-4）中，得x=-

3

2

x（x-4），解得x=0或

10

3

，即P（

10

3

，0），
②當∠CEF=∠BPF=90°時（如圖2），此時，△CEF、△BPF為等腰直角三角形，

則PE=MC=2，將E（x，2）代入拋物線y=-

3

2

x（x-4）中，得2=-

3

2

x（x-4），
解得x=

6-2 6

3

（舍去）或

6+2 6

3

，即P（

6+2 6

3

，0），
所以P（

10

3

，0）或（

6+2 6

3

，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)A、B兩點坐標判斷△ABC的形狀，利用互余關(guān)系判斷其它三角形形狀，求出D點坐標及拋物線解析式，根據(jù)△BPF為等腰直角三角形，△BPF與△FCE相似，且有對頂角相等，由直角的對應(yīng)關(guān)系，分類求P點坐標．