Question

16．我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，如圖是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

（1）請(qǐng)仔細(xì)觀察，填出（a+b）⁴的展開式中所缺的系數(shù)．（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab²+b⁴
（2）此規(guī)律還可以解決實(shí)際問題：假如今天是星期三，再過7天還是星期三，那么再過8¹⁴天是星期四．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)楊輝三角，下一行的系數(shù)是上一行相鄰兩系數(shù)的和，然后寫出各項(xiàng)的系數(shù)即可；
（2）根據(jù)8¹⁴=（7+1）¹⁴=7¹⁴+14×7¹³+91×7¹²+…+14×7+1可知8¹⁴除以7的余數(shù)為1，從而可得答案．

解答 解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab²+b⁴，
故答案為：6，4；

（2）∵8¹⁴=（7+1）¹⁴=7¹⁴+14×7¹³+91×7¹²+…+14×7+1，
∴8¹⁴除以7的余數(shù)為1，
∴假如今天是星期三，那么再過8¹⁴天是星期四，
故答案為：四．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式，能發(fā)現(xiàn)（a+b）ⁿ展開后，各項(xiàng)是按a的降冪排列的，系數(shù)依次是從左到右（a+b）^n-1系數(shù)之和．它的兩端都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和．