Question

已知：二次函數(shù)的表達式為y=-

1

2

x2+x+

3

2

．
（1）寫出這個函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；并畫出圖象．
（2）求圖象與x軸的交點坐標；
（3）觀察圖象，指出使函數(shù)值y＞

3

2

時自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將二次函數(shù)寫成頂點式y(tǒng)=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2
（2）圖象與x軸的交點的橫坐標為此函數(shù)值為0時的一元二次方程的解；
將二次函數(shù)寫成式y(tǒng)=-

1

2

x²+x+

3

2

=-=-

1

2

（x+1）（x-3），根據(jù)頂點式可確定對稱軸及頂點坐標，根據(jù)一般式可確定拋物線與y軸的交點，根據(jù)交點式可確定拋物線與x軸的交點；
（3）根據(jù)圖象可確定y＞

3

2

時，x的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x²-2x）+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
∴拋物線的頂點坐標為（1，2），對稱軸為直線x=1，
圖象如下：


（2）當y=0時，解方程-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得x=3或-1，
所以圖象與x軸交點為（-1，0），（3，0）；

（3）∵拋物線與y軸的交點為（0，

3

2

），即x=0時，y=

3

2

；
又∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴x=2時，y=

3

2

；
由圖象可知，函數(shù)值y＞

3

2

時，x的取值范圍是0＜x＜2．

點評：本題考查了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標與拋物線解析式的關系，拋物線的頂點式：y=a（x-h）²+k，頂點坐標為（h，k），對稱軸x=h．同時考查了用拋物線與x軸的交點坐標，判斷函數(shù)值在某一范圍時自變量的取值范圍的方法．