Question

8．如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別是（0，a），（b，0），（a，-b）且a²+b²+4a-4b=-8，連接BC交y軸于點M，N為AC中點，連接NO并延長至D，使OD=ON，連接BD．
（1）求a，b的值；
（2）求∠DBC；
（3）如圖2，Q為ON，BC的交點，連接AQ，AB，過點O作OP⊥OQ，交AB于P，過點O作OH⊥AB于H，交BQ于E，請?zhí)骄烤�段EH，PH與OH之間有何數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）把a²+b²+4a-4b=-8化成（a+2）²+（b-2）²=0，根據非負數的和等于0，即可求得a，b的值；
（2）根據A（0，-2），B（2，0），C（-2，-2），對稱AC∥x軸，從而求得N的坐標，根據中心對稱的性質對稱D的坐標，然后根據AAS證得△ACM≌△OBM，根據SAS證得△BDE≌△MBO，即可求得∠MBO+∠OBD=90°，從而求得∠DBC=90°；
（3）分別證得四邊形ABOC是平行四邊形，四邊形AHOF是正方形，然后根據三角形中位線定理和三角形全等即可證得2EH=OH-PH．

解答 解：（1）∵點A，B，C的坐標分別是（0，a），（b，0），（a，-b）且a²+b²+4a-4b=-8，
∴（a+2）²+（b-2）²=0，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2；
（2）∵A（0，-2），B（2，0），C（-2，-2），
∴AC∥x軸，
∵N為AC中點，
∴N（-1，-2），
∴AN=1，
∵OD=ON，
∴D和N點關于O點對稱，
∴D（1，2），
如圖1，作DE⊥OB于E，
∴DE=2，BE=1，
在△ACM和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠OMB}\\{∠CAM=∠BOM=90°}\\{AC=OB=2}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△OBM（AAS），
∴AM=OM=$\frac{1}{2}$OA=1，
在△BDE和△MBO中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=DE=2}\\{∠BOM=∠DEB}\\{OM=BE=1}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△MBO（SAS），
∴∠MBO=∠BDE，
∵∠BDE+∠OBD=90°，
∴∠MBO+∠OBD=90°，
即∠DBC=90°；
（3）延長AQ交OC于F，
∵A（0，-2），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC∥OB且AC=OB，
∴四邊形ABOC是平行四邊形，
∴OC∥AB，且OC=AB，
∵ON是AC的中線，CB是OA的中線，
∴AQ是OC的中線，
∵AC=OA=2，
∴AQ⊥OC，
∴AQ⊥AB，
∴四邊形AHOF是正方形，
∴AF=OH，
∵OH=$\frac{1}{2}$AB=AH，OC=AB，
∴OF=OH，
易證得△OFQ≌△OHP，
∴FQ=PH，
∵AH=BH，OH∥AF，
∴EH=$\frac{1}{2}$AQ，
∴EH=$\frac{1}{2}$（AF-FQ）=$\frac{1}{2}$（OH-PH），
∴2EH=OH-PH．

點評 本題考查了坐標和圖形的性質，平行四邊形的判定和性質，正方形的判定和性質，三角形全等的判定和性質以及三角形中位線定理等，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．