Question

如圖，在四邊形AOCB中，A（0，2），B（，n）C（，0），其中△ABO是等邊三角形．

（1）如圖（a），若將四邊形AOCB沿直線EF折疊，使點A與點C重合．
①求點E坐標；
②求△BCF的面積；
（2）如圖（b），若將四邊形AOCB沿直線EF折疊，使EF∥OB，設(shè)點A對折后所對應(yīng)的點為A′，△A′EF與四邊形EOBF的重疊面積為S，設(shè)點E的坐標為（0，t）（t＞0），求S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①設(shè)點E的坐標為（0，y），
∵A（0，2），B（，n），C（，0），
∴BC⊥x軸，OA=2，
∵△ABO為等邊三角形，
∴∠OBC=30°，OA=OB=AB=2，
∴n=1，
由對折可得AE=EC=2-y，
在Rt△OCE中，y²+3=（2-y）²，
解得：y=，
則E坐標為（0，）；
②作FM⊥CB于點M，設(shè)MB=x，
∵∠MBF=180°-120°=60°，
在Rt△MBF中，F(xiàn)B=2x，F(xiàn)M=x，
在Rt△MCF中，根據(jù)勾股定理得：（2-2x）²=（x+1）²+（x）²，
解得：x=，
則S_△BCF=BC•FM=；

（2）∵EF∥OB，
∴△A′EF為等邊三角形，
當(dāng)點A′落在四邊形EOBF內(nèi)或BC上時，如圖（b）所示，
得S=（2-t）²（1≤x＜2）；
當(dāng)點A′落在四邊形EOBF外時，如圖（C）所示，
得S=（2-t）²-（2-2t）²=-t²+t（0＜t＜1）．
分析：（1）①設(shè)點E坐標為（0，y），根據(jù)A的坐標得到OA的長，由B與C的橫坐標相同得到BC垂直于x軸，再由三角形ABO為等邊三角形，得到OA=OB=AB=2，且求出∠OBC為30度，進而求出n的值，由折疊的性質(zhì)得到AE=EC=2-y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，即可確定出E坐標；
②過F作FM垂直于CB，設(shè)MB=x，求出∠MBF為60度，在直角三角形MBF中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面積；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)點A′落在四邊形EOBF內(nèi)或BC上時，如圖（b）所示，重合部分的面積即為三角形AEF的面積，表示出S與t的關(guān)系式即可；當(dāng)點A′落在四邊形EOBF外時，如圖（C）所示，重合部分面積由兩等邊三角形面積之差，表示出S與t關(guān)系式即可．
點評：此題考查了翻折變換（折疊問題），坐標與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，是一道綜合性較強的試題．