【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為正方形中,點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn),是線段上一動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),連接.
(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接交于點(diǎn).
①求證:;
②設(shè),,求與的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍.
(2)在如圖2中,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作出一個(gè)以為邊的菱形.
【答案】(1)①見(jiàn)解析;②;(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)①連接DE,如圖1,先用SAS證明△CBE≌△CDE,得EB=ED,∠CBE=∠1,再用四邊形的內(nèi)角和可證明∠EBC=∠2,從而可得∠1=∠2,進(jìn)一步即可證得結(jié)論;
②將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)E落在點(diǎn)P處,如圖2,用SAS可證△PBG≌△EBG,所以PG=EG=2-x-y,在直角三角形PCG中,根據(jù)勾股定理整理即得y與x的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)題意寫(xiě)出x的取值范圍即可.
(2)由(1)題已得EB=ED,根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性只需再確定點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可,考慮到只有直尺,可延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M,再連接MO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N,再連接DN交AC于點(diǎn)Q,問(wèn)題即得解決.
(1)①證明:如圖1,連接DE,∵四邊形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠BCE=∠DCE=45°,
又∵CE=CE,∴△CBE≌△CDE(SAS),
∴EB=ED,∠CBE=∠1,
∵∠BEC=90°,∠BCF=90°,
∴∠EBC+∠EFC=180°,
∵∠EFC+∠2=180°,
∴∠EBC=∠2,
∴∠1=∠2.
∴ED=EF,
∴BE=EF.
②解:∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為,∴對(duì)角線AC=2.
將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,點(diǎn)E落在點(diǎn)P處,如圖2,
則△BAE≌△BCP,
∴BE=BP,AE=CP=x,∠BAE=∠BCP=45°,∠EBP=90°,
由①可得,∠EBF=45°,∴∠PBG=45°=∠EBG,
在△PBG與△EBG中,,
∴△PBG≌△EBG(SAS).
∴PG=EG=2-x-y,
∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°,
∴在Rt△PCG中,由,得,
化簡(jiǎn),得.
(2)如圖3,作法如下:
①延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M,
②連接MO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N,
③連接DN交AC于點(diǎn)Q,
④連接DE、BQ,
則四邊形BEDQ為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩輛汽車(chē)同時(shí)從相距千米的兩地沿同條公路相向而行(甲由到,乙由到).如圖,分別表示兩輛汽車(chē)與地之間的距離與行駛時(shí)間之間的關(guān)系.
分別求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
甲車(chē)到達(dá)地比乙車(chē)到達(dá)地多用_ 小時(shí);
出發(fā)多少小時(shí)后,兩車(chē)相距千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且y的值隨x值的增大而增大,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為( 。
A. (﹣5,3) B. (1,﹣3) C. (2,2) D. (5,﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲正在閱讀《三國(guó)演義》,每天所讀頁(yè)數(shù)相同,當(dāng)他讀完第84頁(yè)時(shí),乙從頭開(kāi)始閱讀同一本書(shū)籍,每天所讀頁(yè)數(shù)相同;下列表格記錄了甲乙兩人同讀《三國(guó)演義》的進(jìn)度.例如:第五天結(jié)束時(shí),兩人已讀頁(yè)數(shù)之和為424,此時(shí)甲比乙多讀了24頁(yè);(注:已讀頁(yè)數(shù)中已計(jì)入了甲先讀完的84頁(yè))
同讀天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
已讀頁(yè)數(shù)之和 | 152 | 220 | a | b | 424 |
已讀頁(yè)數(shù)之差 | 72 | 60 | 48 | 36 | 24 |
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出表格中a、b的值;
(2)列方程求解:甲、乙兩人每天各讀書(shū)多少頁(yè)?
(3)若這本書(shū)共有520頁(yè),從第6天起,甲每天比原來(lái)多讀n頁(yè),乙每天所讀頁(yè)數(shù)不變,這樣到第11天結(jié)束時(shí),甲、乙兩人已讀頁(yè)數(shù)相同,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)為了解學(xué)生課堂發(fā)言情況,隨機(jī)抽取該年級(jí)部分學(xué)生,對(duì)他們某天在課堂上發(fā)言的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),其結(jié)果如下,并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
(1)直接寫(xiě)出隨機(jī)抽取學(xué)生的人數(shù)為 人;
(2)直接補(bǔ)全頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該校七年級(jí)共有學(xué)生1000人,請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)在這天里發(fā)言次數(shù)大于等于12次的人數(shù).
發(fā)言次數(shù)n | |
A | 0≤n<3 |
B | 3≤n<6 |
C | 6≤n<9 |
D | 9≤n<12 |
E | 12≤n<15 |
F | 15≤n<18 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A,B,C三點(diǎn)共線,線段AB=10cm,BC=16cm,點(diǎn)E,F分別是線段AB,BC的中點(diǎn),則線段EF的長(zhǎng)為( )
A.13cm或3cmB.13cmC.3cmD.13cm或18cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸的原點(diǎn)為0,點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn),點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)位1,AB=6,BC=2,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、C出發(fā),分別以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位和每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0)
(1)求點(diǎn)A、C分別對(duì)應(yīng)的數(shù);
(2)經(jīng)過(guò)t秒后,求點(diǎn)P、Q分別對(duì)應(yīng)的數(shù)(用含t的式子表示)
(3)試問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí),OP=OQ?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小美周末來(lái)到公園,發(fā)現(xiàn)在公園一角有一種“守株待兔”游戲.游戲設(shè)計(jì)者提供了一只兔子和一個(gè)有A、B、C、D、E五個(gè)出入口的兔籠,而且籠內(nèi)的兔子從每個(gè)出入口走出兔籠的機(jī)會(huì)是均等的.規(guī)定:
①玩家只能將小兔從A、B兩個(gè)出入口放入;
②如果小兔進(jìn)入籠子后選擇從開(kāi)始進(jìn)入的出入口離開(kāi),則可獲得一只價(jià)值5元小兔玩具,否則應(yīng)付費(fèi)3元.
(1)問(wèn)小美得到小兔玩具的機(jī)會(huì)有多大?
(2)假設(shè)有100人次玩此游戲,估計(jì)游戲設(shè)計(jì)者可賺多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,,平分,于點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn),則圖中的等腰三角形有( )
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
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