【題目】如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQCP,連接PQ,設(shè)CPm,△CPQ的面積為S

S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;

當(dāng)S最大時(shí),在拋物線y=﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸l上,若存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8(2)S=﹣m2+3m;②滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè),坐標(biāo)分別為F1(,8)F2(,4),F3(6+),F4(6)

【解析】

1)運(yùn)用待定系數(shù)法求解;(2)①根據(jù)三角函數(shù)值性質(zhì)得;②求函數(shù)的最值,根據(jù)拋物線性質(zhì)求出D,Q的坐標(biāo),根據(jù)直角的位置有3種可能,展開(kāi)分析,解直角三角形.

(1)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線,得

,

解得:,

∴拋物線的解析式為y

(2)①∵OA8,OC6,

AC

過(guò)點(diǎn)QQEBCE點(diǎn),則sinACB

∴當(dāng)m5時(shí),S取最大值;

在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,

∵拋物線的解析式為y的對(duì)稱軸為x,

D的坐標(biāo)為(3,8),Q(3,4),

當(dāng)∠FDQ90°時(shí),F1(,8),

當(dāng)∠FQD90°時(shí),則F2(,4)

當(dāng)∠DFQ90°時(shí),設(shè)F(n),

FD2+FQ2DQ2,

+(8n)2+ +(n4)216

解得:n6±,

F3(,6+ ),F4(,6),

滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè),坐標(biāo)分別為

F1(,8),F2(4),F3(,6+ )F4(,6)

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次數(shù)

購(gòu)買數(shù)量(件

購(gòu)買總費(fèi)用(元

A

B

第一次

2

1

55

第二次

1

3

65

根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:

(1)求A,B兩種商品的單價(jià);

(2)若第三次購(gòu)買這兩種商品共12件,且A種商品的數(shù)量不少于B種商品數(shù)量的2倍,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案,并說(shuō)明理由.

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1P110),P2(﹣30).

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2)若△A1B1C1繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2,直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)   

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