Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)B、C分別在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)M（0，6）和N（-3，0）的直線分別與AB、AC交于點(diǎn)D、E，已知AB=2，AC=4．
（1）求直線MN解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，求此函數(shù)的解析式，并通過計算判斷點(diǎn)是E否在該函數(shù)圖象上？

Answer 1

解：（1）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
將M（0，6）和N（-3，0）分別代入解析式得，
，
解得，，
函數(shù)解析式為y=2x+6．
∵AC=4，
∴在矩形OABC中，OB=4，
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，
將y=4代入y=2x+6得，
2x+6=4，
解得x=-1，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）．
（2）將（-1，4）代入反比例函數(shù)得，
m=-1×4=-4，
則反比例函數(shù)解析式為y=-．
在矩形ACOB中，
CO=AB=2，
C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
則E點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，
當(dāng)x=-2時，y=2×（-2）+6=2，
可得，E點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），
將E（-2，2）代入y=-得，2=-，
故點(diǎn)E在函數(shù)圖象上．
分析：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，將M（0，6）和N（-3，0）分別代入解析式，組成方程組，分別求出k、b的值，從而求出一次函數(shù)解析式；求出D點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式，即可求出D點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)C點(diǎn)橫坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)，求出E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可得到E點(diǎn)縱坐標(biāo)，將E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，即可判斷出E是否在函數(shù)圖象上．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識，綜合性較強(qiáng)．