Question

6．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：
①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③PF=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$AB；④$\frac{{S}_{△PBD}}{{S}_{四邊形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用等邊三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)得出∠DHP=∠BHC=75°，進(jìn)而得出答案；
③利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案；
④根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，結(jié)合圖形得到△BPD的面積=△BCP的面積+△CDP面積-△BCD的面積，得出答案．

解答 解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，故①正確；

∵PC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=75°，
∴PD=DH，
∴△DPH是等腰三角形，故②正確；

∵△BPC是等邊三角形，
∴可得∠FPE=∠PFE=60°，
∴△FEP是等邊三角形，
∴△FPE∽△CPB，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{EF}{BC}$，
設(shè)PF=x，PC=y，則DC=y，
∵∠FCD=30°，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+y），
整理得：（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：$\frac{x}{y}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$，
則PF=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$AB，故③正確；

如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，△BPC為正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
S_△BPD=S_{四邊形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PDC-S_△BCD
=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×4
=4$\sqrt{3}$+4-8=4$\sqrt{3}$-4，
∴$\frac{{S}_{△PBD}}{{S}_{四邊形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，故④正確；
故正確的有4個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義表示出出FE及PC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．