Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為邊BC上的高．
（1）若AB=6，AC=4，AD=3，求⊙O的直徑AE的長度；
（2）若AB+AC=10，AD=4，求⊙O的直徑AE的長的最大值，并指出此時邊AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）即證AC：AE=AD：AB，證明它們所在的三角形相似．連接BE，則∠ABE=90°=∠ADC，∠E=∠D（同弧所對的圓周角相等）．所以△ABE∽△ADC，進(jìn)而求出即可；
（2）根據(jù)已知得出可求AB、AD=10-AB的長，運(yùn)用（1）的結(jié)論，再利用二次函數(shù)的最值求解．
解答：（1）證明：連接BE．
∵AE是直徑，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC．
又∵∠E=∠C（同弧所對的圓周角相等），
∴△ABE∽△ADC．
∴=，
∴AC•AB=AE•AD．
∴AE===8，

（2）解：∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB，
∵AD=4，
由（1）中AC•AB=AE•AD，
∴AE==-+AB=-（AB-5）²+，
∴⊙O的直徑AE的長的最大值為：，此時邊AB的長為5．
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．利用線段的乘積相等得出AE=是解題關(guān)鍵．