Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是切⊙O于A的切線，BC交⊙O于點(diǎn)D，E是劣弧 的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，若cosC= ，AC=6，則BF的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：連接AD，作FH⊥AB于H，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ACD中，∵cosC= = ，
∴CD= ×6=4，
∵AC是切⊙O于A的切線，
∴AC⊥AB，
∴△CAB是直角三角形
在Rt△ACB中，∵cosC= = ，
∴BC= ×6=9，
∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，
∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，
∴FD=FH，
設(shè)BF=x，則DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC= = ，
∴ = ，
解得x=3，
即BF的長(zhǎng)為3．
所以答案是：3．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，以及對(duì)解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．