【題目】如圖1,在RtABC中,∠ACB90°,AC3BC4,動點P在線段BC上,點Q在線段AB上,且PQBQ,延長QP交射線AC于點D

1)求證:QAQD;

2)設∠BAPα,當2tanα是正整數(shù)時,求PC的長;

3)作點Q關于AC的對稱點Q′,連結(jié)QQ′,AQ′,DQ′,延長BC交線段DQ′于點E,連結(jié)AEQQ′分別與AP,AE交于點MN(如圖2所示).若存在常數(shù)k,滿足kMNPEQQ′,求k的值.

【答案】(1)證明見解析(2)PC的長為38

【解析】

1)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠BPQ=∠CPD,由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠D,即可得出結(jié)論;

2)過點PPHABH,設PH3xBH4x,BP5x,由題意知tanα1,當tanα1時,HAPH3x,與勾股定理得出3x+4x5,解得x,即可求出PC長;

tanα時,HA2PH6x,得出6x+4x5,解得x,即可求出PC長;

3)設QQAD交于點O,由軸對稱的性質(zhì)得出AQAQDQDQ,得出四邊形AQDQ是菱形,由菱形的性質(zhì)得出QQAD,AOAD,證出四邊形BEQ'Q是平行四邊形,得出QQBE,設CD3m,則PC4m,AD3+3m,即QQBE4m+4,PE8m,由三角函數(shù)得出tanPAC,即可得出結(jié)果.

1)證明:∵PQBQ,

∴∠B=∠BPQ=∠CPD

∵∠ACB=∠PCD90°,

∴∠A+BAC90°,∠D+CPD90°,

∴∠BAC=∠D,

QAQD;

2)解:過點PPHABH,如圖1所示:

PH3x,BH4x,BP5x,

由題意得:tanBAC,∠BAP<∠BAC,

2tanα是正整數(shù)時,tanα1,

tanα1時,HAPH3x,

3x+4x5

x,

PC45x;

tanα時,HA2PH6x,

6x+4x5,

x,

PC45x;

綜上所述,PC的長為;

3)解:設QQ′AD交于點O,如圖2所示:

由軸對稱的性質(zhì)得:AQ′AQDQDQ′,

∴四邊形AQDQ′是菱形,

QQ′AD,AOAD,

BCAC,

QQ′BE,

BQEQ′,

∴四邊形BEQ'Q是平行四邊形,

QQ′BE,

CD3m,則PC4m,AD3+3m

QQ′BE4m+4,PE8m

tanPAC,

,

MN2MO4m1+m),

k8

練習冊系列答案
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1)求證:∠DAC=∠DBA;

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