Question

（本題滿分9分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，

∠BAD＝45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF.

（1）求證：BF＝2AE；

（2）若CD＝，求AD的長(zhǎng).

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）AD=2+

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)AD⊥BC，∠BAD=45°，得出AD=BD，∠ADC=∠FDB=90°，根據(jù)AD⊥BC，BE⊥AC得出∠CAD=∠CBE，從而得出△ADC和△BDF全等，得出AC=BF，根據(jù)AB=BC，BE⊥AC，得出AE=EC，可得BF=2AE；（2）根據(jù)△ADC和△BDF全等得出DF=CD=，根據(jù)Rt△CDF的勾股定理得出CF=2，得出AF=FC=2，根據(jù)AD=AF+DF求出長(zhǎng)度.

試題解析：（1）∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴ ∠ABD=∠BAD=45°.∴ AD=BD.

∵ AD⊥BC,BE⊥AC, ∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o ∴ ∠CAD=∠CBE.

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°， ∴ △ADC≌△BDF. ∴ AC=BF.

∵ AB=BC,BE⊥AC, ∴ AE=EC，即AC＝2AE.∴ BF＝2AE.

（2）∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD=. ∴ 在Rt△CDF中，CF＝＝2.

∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2. ∴ AD=AF+DF=2+.

考點(diǎn)：三角形全等的證明與性質(zhì).