Question

7．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：△OBD≌△OED；
（2）填空：①當(dāng)∠BAC=90度時，CA是⊙O的切線；
②當(dāng)∠BAC=60度時，四邊形OBDE是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，可證得AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD，于是得到BD=ED，根據(jù)“SSS“定理即可證得結(jié)論；
（2）①當(dāng)∠BAC=90°時，由切線的判定定理即可證得CA是⊙O的切線，
②當(dāng)∠BAC=60度時，得到△OBD是等邊三角形，即OB=OD=BD，由（1）得：BD=ED，于是有OB=BD=DE=OE，由菱形的定義得到四邊形OBDE是菱形．

解答 （1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{ED}$．
∴BD=ED，在△OBD和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OE}\\{OD=OE}\\{BE=ED}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△OED（SSS）；

（2）①當(dāng)∠BAC=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴CA是⊙O的切線，
故答案為：90；
②當(dāng)∠BAC=60度時，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，即OB=OD=BD，
由（1）得：BD=ED，
∴OB=BD=DE，
∵OE=OB，
∴OB=BD=DE=OE，
∴四邊形OBDE是菱形，
故答案為：60．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓周角的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定定理，菱形的判定定理，正確作出輔助線，證得BD=ED是解題的關(guān)鍵．