Question

12．如圖，將矩形ABCD沿DE折疊，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G、H分別在AD、AB上，且FG⊥DH，若tan∠ADE=$\frac{1}{2}$，則$\frac{GF}{DH}$的值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 利用翻折變換的性質(zhì)得出△EBF∽△FCD，進(jìn)而求出$\frac{DC}{BC}$的值，再利用已知得出得△GNF∽△DAH，則$\frac{GN}{AD}$=$\frac{FG}{DH}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{4}{5}$．

解答 解：∵將矩形ABCD沿DE折疊，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)F處，
∴AE=EF，∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∵∠DFC+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EFB，
又∵∠B=∠C，
∴△EBF∽△FCD，
∵tan∠ADE=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠EFD=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{FC}$=$\frac{BF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)BE=a，BF=x，則FC=2a，DC=2x，
故EF+BE=DC，
則$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+a=2x，
整理得：a=$\frac{3}{4}$x，
故$\frac{DC}{BC}$=$\frac{2x}{2×\frac{3}{4}x+x}$=$\frac{4}{5}$，
過(guò)點(diǎn)G作GN⊥BC于點(diǎn)N，
∵FG⊥DH，
∴∠GMD=90°，
又∵∠GDM=∠ADH，
∴△GMD∽△HAD，
∴可得△GNF∽△DAH，
∴$\frac{GN}{AD}$=$\frac{FG}{DH}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{4}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，正確得出$\frac{DC}{BC}$是解題關(guān)鍵．