Question

已知△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∠ACB=120°，EF分別在直線AC、BC上，且∠EOF=60°．
（1）求證：OE=OF；
（2）求證：CE+CF=

1

2

AC；
（3）探究CE、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：找到AC中點(diǎn)G，連接GO，CO，
（1）易證CO=GO，∠GOE=∠COF，即可求證△GOE≌△COF，即可解題；
（2）根據(jù)△GOE≌△COF，可得GE=CF，即可解題；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論即可解題．

解答：解：找到AC中點(diǎn)G，連接GO，CO，

（1）∵AC=BC，O為AB中點(diǎn)，∴CO⊥AB，∠BCO=60°，
∵G為AC中點(diǎn)，
∴OG=

1

2

AC=GC，
∵∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OC=

1

2

AC，
∴CO=GO，
∴△OGC為等邊三角形，
∴∠GOC=60°，
∵EOF=60°
∴∠GOE=∠COF，
在△GOE和△COF中，

∠CGO=∠OCB ∠GOE=∠COF GO=CO

，
∴△GOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）∵△GOE≌△COF，
∴GE=CF，
∴CF+CE=CE+GE=CG，
∴CE+CF=

1

2

AC；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論可以得出CE+CF=

1

2

AC．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△GOE≌△COF是解題的關(guān)鍵．