Question

16．如圖，等邊△ABC，其邊長(zhǎng)為1，D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別位于A(yíng)B，AC邊上，且∠EDF=120°．
（1）直接寫(xiě)出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；
（2）若BE，DE，CF能?chē)�成一個(gè)三角形，求出這個(gè)三角形最大內(nèi)角的度數(shù)；（要求：寫(xiě)出思路，畫(huà)出圖形，直接給出結(jié)果即可）
（3）思考：AE+AF的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出該值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：DE=DF．如圖1中，連接AD，作DN⊥AB，DM⊥AC垂足分別為N、M，只要證明△DNE≌△DMF即可．
（2）能?chē)�成三角形，最大�?nèi)角為120°．延長(zhǎng)FD到M使得DF=DM，連接BM，EM，由△DFC≌△DMB得∠C=∠BMD=60°，BM=CF，因?yàn)镈E=DF=DM，∠EDM=180°-∠EDF=60°，
所以△EDM是等邊三角形，由此不難證明．
（3）如圖1中，先證明△ADN≌△ADM，再證明AE+AF=2AN，求出AN即可解決問(wèn)題．

解答 （1）結(jié)論：DE=DF．
證明：如圖1中，連接AD，作DN⊥AB，DM⊥AC垂足分別為N、M．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵BD=DC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴DN=DM，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDF+∠BAC=180°，∠AED+∠AFD=180°，
∵∠AED+∠DEN=180°，
∴∠DFM=∠DEN，
在△DNE和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠DFM}\\{∠DNE=∠DMF}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△DMF，
∴DE=DF．
（2）能?chē)�成三角形，最大�?nèi)角為120°．
證明：如圖2中，延長(zhǎng)FD到M使得DF=DM，連接BM，EM．
在△DFC和△DMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠FDC=∠BDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DMB，
∴∠C=∠MBD=60°，BM=CF，
∵DE=DF=DM，∠EDM=180°-∠EDF=60°，
∴△EDM是等邊三角形，
∴EM=DE，
∴EB、ED、CF能?chē)�成△EBM，
最大內(nèi)角∠EBM=∠EBC+∠DBM=60°+60°=120°．
（3）如圖1中，在△ADN和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ADM，
∴AN=AM，
∴AE+AF=AN-EN+AM+MF，
由（1）可知EN=MF．
∴AE+AF=2AN，
∵BD=DC=$\frac{1}{2}$，在RT△BDN中，∵∠BDN=30°，
∴BN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$，
∴AN=AB-BN=$\frac{3}{4}$，
∴AE+AF=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)輔助線(xiàn)的研究方法，屬于中考常考題型．