Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，-2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若D點在此拋物線上，且AD∥CB，在x軸上是否存在點E，使得以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，問在x軸下方的拋物線上，是否存在點P使得△APD的面積與四邊形ACBD的面積相等？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0）和點C（0，-2）三點，列出三元一次方程組，解出a、b和c即可；
（2）設(shè)D點坐標(biāo)為（x，y），E點坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)AD∥BC，兩直線斜率相等，列式求出D點的坐標(biāo)，再證明出△ABC是直角三角形，然后分類討論：①當(dāng)∠E是直角時，兩三角形相似，根據(jù)比例關(guān)系求出E點的坐標(biāo)，②當(dāng)∠D是直角時，兩三角形相似，根據(jù)比例關(guān)系求出E點的坐標(biāo)．
（3）假設(shè)存在P點（x，y）使得△APD的面積與四邊形ACBD的面積相等，根據(jù)S_{四邊形ACBD}=S_△ABD+S_△ACB=S_△ABP列式求出y的值，然后驗證P點坐標(biāo)是否存在．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，-2），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）設(shè)D點坐標(biāo)為（x，y），E點坐標(biāo)為（a，0）
∵AD∥CB，
∴兩直線的斜率相等，
∴k_AD=k_BC，
∴==，
∴y+1=x，
又∵點D在拋物線上，
∴y=x²-x-2，
聯(lián)立兩式解得D點的坐標(biāo)為（5，3），
連接AC，AC=，BC=2，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽RtEDA，如圖1所示，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽RtEDA，
∴==，
∴==，
當(dāng)a=5時，等式成立，
∴當(dāng)E點坐標(biāo)為（5，0）時，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽RtADE，如圖2所示，
同理可知=，即=，
解得a=，
∴AE=，根據(jù)勾股定理求出DE=，
檢驗：==，
∴存在E點坐標(biāo)（，0）使以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，
綜上這樣的點有兩個，分別是（5，0），（，0）；

（3）由（1）（2）可知：AB=5，D點坐標(biāo)為（5，3），C點坐標(biāo)為（0，-2），
假設(shè)存在P點（x，y）使得△APD的面積與四邊形ACBD的面積相等，
S_{四邊形ACBD}=S_△ABD+S_△ACB=×5×3+×5×2=，
S_△APD=×AD×h=，解得h=，
∴P到直線AD的距離為，
直線AD的解析式為y=x+，
P點到直線AD的距離d==，
又知y=x²-x-2，
解得x=
∴這樣的P點存在，坐標(biāo)為（，）、（，）．
點評：本題考查了二次函數(shù)、三角形相似、平行線的性質(zhì)、直線斜率等知識點，解答本題需要較強的綜合作答能力，特別是作答（2）問時需要進(jìn)行分類，這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤�，此題難度較大．